Área de um círculo

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2015) Área de um círculo, Rev. Ciência Elem., V3(1):078
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2015.078]

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Definição

A área \({\mathcal A}\) de um círculo de raio r é igual a \(\pi r^2\)

Cálculo aproximado. Método de exaustão

A área \({\mathcal A}\) de um círculo de raio r pode ser obtida por um processo de exaustão. Isto significa que consideramos polígonos regulares inscritos no círculo com um número n de lados, aumentando sucessivamente.

Se designarmos por \({\mathcal A}_n\) a área de um tal polígono com n lados, então \({\mathcal A}_n\) fornece uma aproximação cada vez mais fiel da área \({\mathcal A}\) do círculo, à medida que n aumenta indefinidamente. Por outras palavras \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} {\mathcal A}_n={\mathcal A.}\) Usando a fórmula da área de polígonos regulares \({\mathcal A}_n=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\, n\, \sin\left(\displaystyle \frac{2\pi}{n}\right)\) e o facto conhecido \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\), podemos calcular o limite da sucessão \({\mathcal A}_n\), obtendo \[\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle \frac{1}{2}r^2\, n\, \sin\left(\displaystyle \frac{2\pi}{n}\right)=\pi r^2\] como se afirmou.

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Criada em 12 de Novembro de 2012
Revista em 27 de Dezembro de 2012
Aceite pelo editor em 27 de Dezembro de 2012