Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2014) Polígonos regulares, Rev. Ciência Elem., V2(3):323
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.323]

Definição

Circunferências inscrita e circunscrita

Figura 1 - Circunferências inscrita e circunscrita

Cada polígono regular ${\mathcal{P}}_n$, de n lados, admite uma única circunferência circunscrita $\mathcal{C}$, que passa em todos os n vértices do polígono. O centro da circunferência $\mathcal{C}$ chama-se o centro do polígono ${\mathcal{P}}_n$.

Cada polígono regular ${\mathcal{P}}_n$, de n lados, admite uma única circunferência inscrita $\mathcal{I}$, que é tangente a cada um dos lados do polígono. O ponto de tangência com um lado é o ponto médio desse lado. O centro da circunferência $\mathcal{I}$ coincide com o centro do polígono ${\mathcal{P}}_n$.

O raio da circunferência circunscrita $\mathcal{C}$ chama-se o raio do polígono ${\mathcal{P}}_n$, enquanto que o raio da circunferência inscrita $\mathcal{I}$ chama-se o apótema do polígono ${\mathcal{P}}_n$.

Soma dos ângulos externos e internos

Perímetro e área

Figura 1

Seja ${\mathcal{P}}_n$ um polígono regular de raio r, com de n lados. O raio da circunferência circunscrita é pois igual a r. A que é igual o comprimento $a_n$ do lado de polígono?

Pela figura ao lado, vemos que $\displaystyle\frac{a_n}{2}=r \sin\displaystyle\frac{\pi}{n}$ ( o triângulo ACE é retângulo) e portanto

Por outro lado, o apótema CE de ${\mathcal{P}}_n$ é igual a $r \cos\displaystyle\frac{\pi}{n}$. Portanto, a área do triângulo ACB é igual a $\displaystyle\frac{\left(\mbox{base} \times \mbox{altura}\right)}{2}$, isto é, é igual a $\displaystyle\frac{a_n\times \mbox{apótema}}{2}$ ou, ainda, $r^2 \sin\displaystyle\frac{\pi}{n} \cos\displaystyle\frac{\pi}{n}=\displaystyle\frac{1}{2} r^2\sin\left(\displaystyle\frac{2\pi}{n}\right)$.

Como existem ao todo n triângulos iguais que preenchem o polígono dado, a sua área é