Diferenças entre edições de "Inequações"

Revisão das 23h52min de 12 de junho de 2013

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: Colocar nome do editor

Definição

Uma inequação a uma incógnita é uma desigualdade que comporta uma variável. Assim, dá-se o nome de inequação a uma desigualdade à qual não se pode atribuir um valor de verdade (dizer se é verdadeira ou falsa), porque o seu valor de verdade depende do valor que for atribuído à variável.

São exemplos de inequações: \(2x+3 > 10\), \(\quad 8-z \ge 11\).

Resolver uma inequação é determinar os conjuntos ou os intervalos de valores que se podem atribuir à variável de modo a tornar a desigualdade verdadeira.

Inequações de 1º grau

A resolução de inequações do 1ºgrau comporta os meus desafios e os mesmos procedimentos que a resolução de equações do 1ºgrau. Assim, o objetivo principal da resolução de inequações do 1ºgrau será isolar a incógnita num dos membros, ou seja, obter \(x> \dots\), \(\quad x < \dots\), \(\quad x \le \dots\) ou \(\quad x \ge \dots\). Na resolução destas inequações podemos utilizar as propriedades das desigualdades de forma a não modificar o seu valor de verdade. Para isso, podemos transformar a desigualdade por adição, subtração, multiplicação e divisão por um número positivo como fazemos na resolução de equações. No caso da multiplicação ou divisão por um número negativo, existe uma diferença essencial relativamente às equações, pois no caso das inequações será necessário alterar o sentido da desigualdade para manter o mesmo valor de verdade.

Qualquer inequação do 1ºgrau, pode ser reduzida, através das operações referidas anteriormente, a uma das quatro formas seguintes:

\(ax < b\), \(\quad ax > b\), \(\quad ax \le b \quad\) ou \(\quad ax \ge b\)

podendo \(a\) ser positivo ou negativo mas nunca nulo.

Exemplos

Como resolver a equação \(\displaystyle 2- \frac{x-3}{2} \le 5\)?

\(\displaystyle 2- \frac{x-3}{2} \le 5 \, \Longleftrightarrow \, 4-x+3 \le 10 \, \Longleftrightarrow \, -x \le 3 \, \Longleftrightarrow \, x \ge -3\)

Logo o conjunto-solução desta inequação é \(\quad ]-\infty, -3]\).

Inequações de 2º grau

Exemplos

Como resolver a inequação \((x+3)^2 \ge 2x^2+6\)?

Começamos por simplificar a inequação: \(x^2+6x+9 \ge 2x^2+6 \, \Longleftrightarrow \, -x^2+6x+3 \ge 0\).

O passo seguinte é determinar as soluções da equação \(-x^2+6x+3=0\). Através da fórmula resolvente obtemos,

\(\displaystyle x=\frac{-6 \pm \sqrt{6^2-4 \times (-1) \times 3}}{-2} \, \Longleftrightarrow \, x=3-2\sqrt{3} \, \vee \, x=3+2\sqrt{3}\)

Organizando a informação num quadro de sinal,

A inequação \(-x^2+6x+3 \ge 0\) é assim válida no intervalo \([3-2\sqrt{3},3+2\sqrt{3}]\).

Inequações de funções racionais

Na resolução de inequações de funções racionais existe mais um fator a ter em causa que é o facto do denominador nunca se poder anular. Vejamos o seguinte exemplo:

\(\displaystyle \frac{2x-1}{x+3} \le 5\)

Neste exemplo, temos de garantir que o valor que anula o denominador não aparece como solução da inequação, ou seja, que \(x+3 \neq 0 \, \Leftrightarrow \, x \neq -3\).

Resolvendo a inequação temos então que,

\(\displaystyle \frac{2x-1}{x+3} -5 \le 0 \, \Longleftrightarrow \, \frac{2x-1-5x-15}{x+3} \le 0 \, \Longleftrightarrow \, \frac{-3x-16}{x+3} \le 0\).

Considerando o quadro de sinal seguinte, temos que:

Inequações com módulo