Função quadrática

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Definição

Uma função \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) chama-se uma função quadrática quando existem números reais \(a\), \(b\) e \(c\), com \(a \neq 0\), tais que \(f(x)=ax^2+bx+c\) para todo \(x \in \mathbb{R}\).

Propriedades

Zeros:

A função quadrática tem no máximo dois zeros. Determinar os zeros de uma função quadrática é equivalente a resolver uma equação de 2ºgrau, assim poderá ser necessário recorrer à fórmula resolvente para equações do 2ºgrau.

• Se o discriminante \(\Delta\) for negativo, a função quadrática não tem zeros e portanto ou é sempre positiva ou sempre negativa. Se \(a >0\) a função é positiva para \(x \in \mathbb{R}\), pelo contrário se o coeficiente \(a<0\) então a função é negativa em todo o seu domínio.

• Se \(\Delta>0\) a função tem dois zeros, respetivamente:

\(x_1=(-b-\sqrt{\Delta})/2a\quad\) ; \(\quad x_2=(-b+\sqrt{\Delta})/2a \quad\) com \(x_1<x_2\)

Neste caso, se \(a>0\) a função é positiva no intervalo \(]-\infty,x_1[ \cup ]x_2,+\infty[\) e negativa para \(x \in ]x_1,x_2[\). Já se \(a<0\) a função toma valores positivos para \(x \in ]x_1,x_2[\) e valores negativos no intervalo \(]-\infty,x_1[ \cup ]x_2,+\infty[\).

• Finalmente se \(\Delta=0\) a função quadrática possui um único zero em \(x=-b/2a\).

Representação gráfica

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.