Função quadrática

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Função quadrática, Rev. Ciência Elem., V5(1):069
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.069]

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Definição

Uma função $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ chama-se uma função quadrática quando existem números reais $a$, $b$ e $c$, com $a \neq 0$, tais que $f(x)=ax^2+bx+c$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

Propriedades

Sinal:

A função quadrática tem no máximo dois zeros. Determinar os zeros de uma função quadrática é equivalente a resolver a equação do 2ºgrau $ax^2+bx+c=0$, assim poderá ser necessário recorrer à fórmula resolvente para equações do 2ºgrau. Se o discriminante $\Delta=b^2-4ac$ for negativo, a função quadrática não tem zeros e portanto ou é sempre positiva ou sempre negativa. Se $a >0$ a função é positiva para $x \in \mathbb{R}$, pelo contrário se o coeficiente $a<0$ então a função é negativa em todo o seu domínio. Ver figura 1. Se $\Delta>0$ a função tem dois zeros, respetivamente: $x_1=(-b-\sqrt{\Delta})/2a\quad$ ; $\quad x_2=(-b+\sqrt{\Delta})/2a \quad$ com $x_1<x_2$. Neste caso, se $a>0$ a função é positiva no intervalo $]-\infty,x_1[ \, \cup \, ]x_2,+\infty[$ e negativa para $x \in \, ]x_1,x_2[$. Já se $a<0$ a função toma valores positivos para $x \in \, ]x_1,x_2[$ e valores negativos no intervalo $]-\infty,x_1[ \, \cup \, ]x_2,+\infty[$. Ver figura 2. Finalmente se $\Delta=0$ a função quadrática possui um único zero em $x=-b/2a$. Neste caso, se $a>0$ a função é positiva em $x \in \, \mathbb{R} \backslash \{-b/2a\}$. Já se $a<0$, a função é negativa em $x \in \, \mathbb{R} \backslash \{-b/2a\}$. Ver figura 3.

$a>0$ e zeros={$x_1$, $x_2$} $$x$$ $$-\infty$$ $$x_1$$ $$\quad$$ $$x_2$$ $$+\infty$$ $f(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $a<0$ e zeros={$x_1$, $x_2$} $$x$$ $$-\infty$$ $$x_1$$ $$\quad$$ $$x_2$$ $$+\infty$$ $f(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$

Figura 1 -

Figura 2 -

Figura 3 -

Monotonia:

Suponhamos $a>0$ e consideremos a forma canónica para a função quadrática $f(x)$, $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c=a\left[ \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2+ \frac{4ac-b^2}{4a^2} \right]$ Considerando a soma da duas parcelas no interior dos parêntesis retos, verificamos que a primeira depende de $x$ e é sempre positiva. A segunda parcela é constante. Portanto, o menor valor desta soma é atingido quando $\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2$ é igual a zero, ou seja, quando $x=-b/2a$. Neste ponto, $f(x)$ também assume o seu valor mínimo. Concluímos assim que, quando $a>0$ o menor valor (mínimo da função) assumido por $f(x)$ é: $f(-b/2a)=c-(b^2/4a)$. Se $a<0$, o valor $f(-b/2a)$ é o maior dos números $f(x)$ (máximo da função), para qualquer $x \in \mathbb{R}$. Quando $a>0$, $f(x)=ax^2+bx+c$ não assume valor máximo, é assim uma função ilimitada superiormente. Analogamente, quando $a<0$, $f(x)$ não assume valor mínimo sendo assim uma função ilimitada inferiormente.

Se $a>0$ $$x$$ $$-\infty$$ $$-b/2a$$ $$+\infty$$ $f(x)$ $\searrow$ Mín. $f(-b/2a)$ $\nearrow$ Se $a<0$ $$x$$ $$-\infty$$ $$-b/2a$$ $$+\infty$$ $f(x)$ $\nearrow$ Máx. $f(-b/2a)$ $\searrow$

Representação gráfica

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada pelo valor de $a$. Se $a>0$ a concavidade da parábola que representa a função quadrática é voltada para cima, se $a<0$ a concavidade da parábola é voltada para baixo. A ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo dos $yy$ é dado pelo valor de $c$ pois, nesse ponto de interseção a abcissa é nula, ou seja $x=0$, logo $f(0)=a \times 0^2+b\times 0+c=c$. O vértice da parábola é o ponto onde a função quadrática toma o seu valor máximo (quando $a<0$) ou mínimo (quando $a>0$). Portanto as coordenadas deste ponto correspondem ao maximizante e máximo da função ou ao minimizante e mínimo da função, respetivamente. As coordenadas do vértice da parábola são $\displaystyle \left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)=\left(\frac{-b}{2a}, c-\frac{b^2}{4a}\right)$. A reta de equação $x=-b/2a$ define o eixo de simetria da parábola. Assim, o eixo de simetria da parábola contém sempre o vértice da mesma. Os zeros da função quadrática são os pontos em que a função se anula, este pontos correspondem aos pontos de interseção da parábola com o eixo dos $xx$. Como já foi estudado anteriormente a função quadrática pode ter no máximo dois zeros. Mova os seletores a, b e c para alterar a função quadrática $f(x)$. Verifique as propriedades acima enunciadas nomeadamente, as coordenadas dos pontos de interseção com os eixos coordenados.

Aplicação

A trajetória de um projétil lançado a partir de uma posição inicial $P_o$, com uma velocidade inicial ${\bf v}_o$, é uma parábola. Estamos a supôr que a distância percorrida é pequena, que o projétil está apenas submetido à acção da força gravítica à superfície da terra suposta plana (não há atrito, por exemplo).

Comece por mover o ponto $P_0$ e estabelecer a posição inicial do projétil. Mova os seletores $v_0$, $\theta$ e $m$ para alterar respetivamente, a velocidade inicial $v_0$ do projétil, o ângulo $\theta$ que o vetor velocidade inicial faz com a parte positiva do eixo dos xx, e a massa $m$ do projétil. O seletor $g$ permite variar a aceleração da gravidade (em $m/s^2$). Por exemplo, à superfície da terra $g=9.8 m/s^2$. Finalmente, $t$ indica o tempo decorrido após o lançamento do projétil. Clique no botão play para observar o movimento do projétil. Note que a trajectória é independente da massa $m$ do projétil!

Ver também

• Equação do 2º grau;

Referências

• LIMA, Elon Lages, CARVALHO Paulo Cezar, WAGNER Eduardo, MORGADO Augusto César (1997) "A Matemática do Ensino Médio - Volume 1" 2ªedição, Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro;

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Criada em 30 de Maio de 2013
Revista em 27 de Junho de 2013
Aceite pelo editor em 31 de Março de 2017