Diferenças entre edições de "Função quadrática"
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A fim de verificarmos a veracidade da afirmação anterior, bastava-nos verificar que a distância do foco \(F_g\) a um ponto qualquer \(P\) da função \(g\) era igual à distância entre esse mesmo ponto e a diretriz \(d_g\). Ou então, observarmos que o gráfico de \(g(x)=a(x-m)^2+k\) resulta do gráfico de \(f(x)=ax^2\) por uma translação horizontal \((x,y) \mapsto (x+m,y)\) seguida de uma translação vertical \((x+m,y) \mapsto (x+m,y+k)\). A translação horizontal leva o eixo \(x=0\) no eixo \(x=m\) (e por isso leva o ponto \(F_f=(0,1/4a)\) no ponto \(F_g=(m,1/4a)\)) e a translação vertical leva o eixo \(Ox\) na reta \(y=k\) e a reta \(d_f=-1/4a\) na reta \(d_g=k-1/4a\). | A fim de verificarmos a veracidade da afirmação anterior, bastava-nos verificar que a distância do foco \(F_g\) a um ponto qualquer \(P\) da função \(g\) era igual à distância entre esse mesmo ponto e a diretriz \(d_g\). Ou então, observarmos que o gráfico de \(g(x)=a(x-m)^2+k\) resulta do gráfico de \(f(x)=ax^2\) por uma translação horizontal \((x,y) \mapsto (x+m,y)\) seguida de uma translação vertical \((x+m,y) \mapsto (x+m,y+k)\). A translação horizontal leva o eixo \(x=0\) no eixo \(x=m\) (e por isso leva o ponto \(F_f=(0,1/4a)\) no ponto \(F_g=(m,1/4a)\)) e a translação vertical leva o eixo \(Ox\) na reta \(y=k\) e a reta \(d_f=-1/4a\) na reta \(d_g=k-1/4a\). | ||
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Revisão das 01h35min de 30 de maio de 2013
Referência : Não citável Esta página ainda não foi aprovada.
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Definição
Uma função \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) chama-se uma função quadrática quando existem números reais \(a\), \(b\) e \(c\), com \(a \neq 0\), tais que \(f(x)=ax^2+bx+c\) para todo \(x \in \mathbb{R}\).
Propriedades
Sinal: A função quadrática tem no máximo dois zeros. Determinar os zeros de uma função quadrática é equivalente a resolver uma equação de 2ºgrau, assim poderá ser necessário recorrer à fórmula resolvente para equações do 2ºgrau.
- Se o discriminante \(\Delta\) for negativo, a função quadrática não tem zeros e portanto ou é sempre positiva ou sempre negativa. Se \(a >0\) a função é positiva para \(x \in \mathbb{R}\), pelo contrário se o coeficiente \(a<0\) então a função é negativa em todo o seu domínio.
- Se \(\Delta>0\) a função tem dois zeros, respetivamente: \(x_1=(-b-\sqrt{\Delta})/2a\quad\) ; \(\quad x_2=(-b+\sqrt{\Delta})/2a \quad\) com \(x_1<x_2\).
Neste caso, se \(a>0\) a função é positiva no intervalo \(]-\infty,x_1[ \, \cup \, ]x_2,+\infty[\) e negativa para \(x \in \, ]x_1,x_2[\). Já se \(a<0\) a função toma valores positivos para \(x \in \, ]x_1,x_2[\) e valores negativos no intervalo \(]-\infty,x_1[ \, \cup \, ]x_2,+\infty[\).
- Finalmente se \(\Delta=0\) a função quadrática possui um único zero em \(x=-b/2a\). Neste caso, se \(a>0\) a função é positiva em \(x \in \, \mathbb{R} \backslash \{-b/2a\}\). Já se \(a<0\), a função é negativa em \(x \in \, \mathbb{R} \backslash \{-b/2a\}\).
Monotonia:
Suponhamos \(a>0\) e consideremos a forma canónica para a função quadrática \(f(x)\),
\(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c=a\left[ \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2+ \frac{4ac-b^2}{4a^2} \right]\)
Considerando a soma da duas parcelas no interior dos parêntesis retos, verificamos que a primeira depende de \(x\) e é sempre positiva. A segunda parcela é constante. Portanto, o menor valor desta soma é atingido quando \(\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2\) é igual a zero, ou seja, quando \(x=-b/2a\). Neste ponto, \(f(x)\) também assume o seu valor mínimo. Concluímos assim que, quando \(a>0\) o menor valor (mínimo da função) assumido por \(f(x)\) é: \(f(-b/2a)=c-(b^2/4a)\).
Se \(a<0\), o valor \(f(-b/2a)\) é o maior dos números \(f(x)\) (máximo da função), para qualquer \(x \in \mathbb{R}\).
Quando \(a>0\), \(f(x)=ax^2+bx+c\) não assume valor máximo, é assim uma função ilimitada superiormente. Analogamente, quando \(a<0\), \(f(x)\) não assume valor mínimo sendo assim uma função ilimitada inferiormente.
Representação gráfica
| O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada pelo valor de \(a\). Se \(a>0\) a concavidade da parábola que representa a função quadrática é voltada para cima, se \(a<0\) a concavidade da parábola é voltada para baixo.
A ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo dos \(yy\) é dado pelo valor de \(c\) pois, nesse ponto de interseção a abcissa é nula, ou seja \(x=0\), logo \(f(0)=a \times 0^2+b\times 0+c=c\). O vértice da parábola é o ponto onde a função quadrática toma o seu valor máximo (quando \(a<0\)) ou mínimo (quando \(a>0\)). Portanto as coordenadas deste ponto correspondem ao maximizante e máximo da função ou ao minimizante e mínimo da função, respetivamente. As coordenadas do vértice da parábola são \(\displaystyle \left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)=\left(\frac{-b}{2a}, c-\frac{b^2}{4a}\right)\). A reta de equação \(x=-b/2a\) define o eixo de simetria da parábola. Assim, o eixo de simetria da parábola contém sempre o vértice da mesma. Os zeros da função quadrática são os pontos em que a função se anula, este pontos correspondem aos pontos de interseção da parábola com o eixo dos \(xx\). Como já foi estudado anteriormente a função quadrática pode ter no máximo dois zeros.
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Foco e diretriz
| Dados um ponto \(F\) e uma reta \(d\) que não o contém, a parábola de foco \(F\) e diretriz \(d\) é o conjunto de pontos do plano que distam igualmente de \(F\) e de \(d\).
Consideremos a função quadrática \(f(x)=ax^2\) com \(a \neq 0\). O gráfico da função \(f\) é a parábola cujo foco é \(F_f=(0,1/4a)\) e cuja diretriz é a reta horizontal \(d_f=-1/4a\). A fim de provarmos a afirmação anterior tomamos a distância entre dois pontos e a distância entre um ponto e uma reta (lembremos que a distância entre um ponto e uma reta é o comprimento do segmento de reta perpendicular à reta com origem no ponto). Ora, a distância entre um ponto qualquer \(P=(x,ax^2)\) do gráfico de \(f\) ao ponto \(F_f\) é igual a: \(\displaystyle \sqrt{x^2+\left(ax^2-\frac{1}{4a}\right)^2}\). Já a distância do mesmo ponto \(P\) à reta \(d_f=-1/4a\) é dada por \(\displaystyle \sqrt{\left(ax^2+\frac{1}{4a}\right)^2}\). Tomando os quadrados de ambas as distâncias, verificamos que para todo o \(x \in\mathbb{R}\) é válida a igualdade: \(\displaystyle x^2+\left(ax^2-\frac{1}{4a}\right)^2=\left(ax^2+\frac{1}{4a}\right)^2\).
A fim de verificarmos a veracidade da afirmação anterior, bastava-nos verificar que a distância do foco \(F_g\) a um ponto qualquer \(P\) da função \(g\) era igual à distância entre esse mesmo ponto e a diretriz \(d_g\). Ou então, observarmos que o gráfico de \(g(x)=a(x-m)^2+k\) resulta do gráfico de \(f(x)=ax^2\) por uma translação horizontal \((x,y) \mapsto (x+m,y)\) seguida de uma translação vertical \((x+m,y) \mapsto (x+m,y+k)\). A translação horizontal leva o eixo \(x=0\) no eixo \(x=m\) (e por isso leva o ponto \(F_f=(0,1/4a)\) no ponto \(F_g=(m,1/4a)\)) e a translação vertical leva o eixo \(Ox\) na reta \(y=k\) e a reta \(d_f=-1/4a\) na reta \(d_g=k-1/4a\). |
Ver também
Referências
- LIMA, Elon Lages, CARVALHO Paulo Cezar, WAGNER Eduardo, MORGADO Augusto César (1997) "A Matemática do Ensino Médio - Volume 1" 2ªedição, Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro;
