Probabilidade condicional
Referência : Martins, EGM, (2017) Probabilidade condicional, Rev. Ciência Elem., V5(3):034
Autor: Maria Eugénia Graça Martins
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2017.034]
Resumo
A probabilidade condicional é um dos conceitos mais importantes da Teoria da Probabilidade e está relacionado com o facto de em muitas situações em que se pretende calcular a probabilidade de um acontecimento, já se dispor de alguma informação sobre o resultado da experiência que conduz à realização do acontecimento, a qual permite atualizar a atribuição de probabilidade a esse acontecimento.
Considere-se um espaço de resultados S e uma probabilidade P nesse espaço. Dados dois acontecimentos A e B, com P(B) > 0, define-se probabilidade condicional de A se B (ou dado B, ou sabendo B, ou condicional à ocorrência de B), e representa-se por P(A | B), como sendo
\( P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
Mais concretamente, ao falarmos na probabilidade condicional, nomeadamente probabilidade do acontecimento \( A \) dado \( B \), estamos a restringir o espaço de resultados em que estamos a trabalhar ao definido pelo acontecimento \( B \). Assim, a probabilidade de A em B é calculada dividindo a probabilidade da interseção de \( A \) com \( B \), pela probabilidade de \( B \).
Por exemplo, se considerarmos uma família com dois filhos, admitindo que existe igual probabilidade de ser rapaz ( \( M \) ) ou rapariga ( \( F \) ), o espaço de resultados associado ao fenómeno que consiste em averiguar o sexo dos dois filhos é \( S = \left\{MM, MF, FM, FF\right\} \), com resultados igualmente prováveis, pelo que a probabilidade de que ambos os filhos sejam rapazes é \( P\left(MM\right)=1/4 \). No entanto se pretendermos a probabilidade de ambos os filhos serem rapazes, sabendo que um deles é rapaz, este condicionamento provoca que o espaço de resultados se reduza a \( S' = \left\{MM, MF, FM\right\} \), donde a probabilidade pretendida será \( P\left(MM\right)=1/3 \). A situação descrita anteriormente pode ser representada com o seguinte diagrama de Venn
A definição de probabilidade condicional é muito útil, quando utilizada no sentido inverso, para calcular a probabilidade conjunta ou probabilidade da interseção de dois acontecimentos
\( p\left(A \cap B\right) = P\left(A | B \right)P\left(B\right)= P\left(B | A \right)P\left(A\right) \)
É uma noção, em geral intuitiva, quando é aplicada no cálculo de probabilidades de cadeias de acontecimentos. Por exemplo, considere-se uma turma constituída por 8 rapazes e 14 raparigas, em que se pretende selecionar uma comissão de curso constituída por 2 alunos. Pretende-se que esta seleção seja aleatória, pelo que os nomes dos alunos são escritos em 22 pedaços de papel, que se colocam num saco, de onde se extraem 2 desses papéis, ao acaso. Qual a probabilidade da comissão de curso ser constituída por dois rapazes? Se representarmos por \( M_{1} \) o acontecimento “saída de um nome de rapaz na primeira extração” e por \( M_{2} \) o acontecimento “saída de um nome de rapaz na segunda extração”, pretende-se a probabilidade da interseção destes acontecimentos, ou seja, \( P\left( M_{1} \cap M_{2} \right) \). Tendo em consideração a definição de probabilidade conjunta, vem
\( P\left( M_{1} \cap M_{2} \right)=P\left( M_{1} \right)P\left( M_{2} | M_{1} \right)=\frac{8}{22}\frac{7}{21} \)
E se se pretendesse a probabilidade de numa nova seleção sair ainda um nome de rapaz? Neste caso teríamos
\( P\left( M_{1} \cap M_{2} \cap M_{3} \right)=P\left( M_{1} \right)P\left( M_{2} | M_{1} \right)P\left( M_{3} | M_{1} \cap M_{2} \right)=\frac{8}{22}\frac{7}{21}\frac{6}{20} \)
Referências
GRAÇA MARTINS, M. E., MONTEIRO, C., VIANA, P. V., TURKMAN, M. A. A. (1999) – Probabilidades e Combinatória. Ministério da Educação, Departamento do Ensino Superior. ISBN: 972-8417-33-0. Depósito Legal 143440/99.
