Método de redução ao absurdo

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Método de redução ao absurdo, Rev. Ciência Elem., V5(4):085
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.085]

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O método de prova por redução ao absurdo

O método de redução ao absurdo é um método de prova matemática para validar se uma proposição do tipo:

\(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\)

é verdadeira.

Consiste no seguinte argumento: supômos que \(\mathcal{Q}\) é falsa e provamos que então \(\mathcal{P}\) também o é. Como? Em geral derivando uma "contradição" ou um "absurdo", isto é, algo incompatível com a veracidade assumida de \(\mathcal{P}\).

Exemplos

\(\sqrt{2}\) é um número irracional

Usando o método de redução ao absurdo provar que:

\( \sqrt{2}\ \ \mbox{é um número irracional} \)

Note que isto pode ser posto na forma se ... então , ..., pondo se \(\sqrt{2}\) é um número então \(\sqrt{2}\) é irracional.

Suponho que \(\sqrt{2}\) é um número racional e derivo uma contradição ou um absurdo.

Mas o que é um número racional? - é um número da forma \(\displaystyle\frac{m}{n}\) com \(m,n\in \mathbb{Z},\, n\neq 0\). De facto, e este é um elemento essencial na prova, podemos sempre supôr que a fracção \(\displaystyle\frac{m}{n}\) é irredutível, isto é, que não existe qualquer inteiro \(\neq 1\) que divide simultâneamente \(m\) e \(n\).

Agora a prova prossegue sem dificuldade:

• suponho que \(\sqrt{2}\) é um número racional, isto é, que \(\sqrt{2} =\displaystyle\frac{m}{n}\), com \(m,n\in \mathbb{Z},\, n\neq 0\) e a fracção \(\displaystyle\frac{m}{n}\) irredutível.
• então \(2=\displaystyle\frac{m^2}{n^2}\) e portanto:

\(m^2=2n^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ............... \ \ \ \ \ \ \ \ (*)\)

o que significa que \(m^2\) é par.

• \(m^2\) sendo par, \(m\) também tem que ser par. Porquê? porque se \(m\) fosse ímpar também \(m^2\) o seria (prove isto).
• logo existe um inteiro \(k\in \mathbb{Z}\) tal que \(m=2k\)
• substituindo na equação (*) vem que \((2k)^2=2n^2\), isto é, \(n^2=2k^2\), o significa que \(n^2\) é par.
• sendo \(n^2\) par \(n\) é também par
• concluímos pois que \(m\) e \(n\) são ambos pares, isto é, são ambos divisíveis por 2.
• mas isto é absurdo porque suposémos a fracção \(\displaystyle\frac{m}{n}\) irredutível.

O absurdo resultou de termos suposto que \(\sqrt{2}\) é um número racional. Logo \(\sqrt{2}\) é um número irracional.

QED

Um outro

Utilizemos agora o método de redução ao absurdo para provar que:

Se \(a\), \(b\) e \(c\) números inteiros ímpares então a equação quadrática \(ax^2+bx+c=0\) não possui raízes racionais.

Suponhamos que \(p/q\) é uma raiz racional da equação acima, com \(p\) e \(q\) primos entre si. Assim,

\(\displaystyle a\left(\frac{p}{q}\right)^2 +b\left(\frac{p}{q}\right)+c=0 \, \Longrightarrow \, ap^2+bpq+cq^2=0\)

• Se \(p\) e \(q\) são ímpares, então \(ap^2+bpq+cq^2\) também é ímpar, portanto não nulo e daí que \(p/q\) não seja solução da equação quadrática referida;

• Se \(p\) é par e \(q\) é ímpar, então \(ap^2\) é par, \(bpq\) é par e \(cq^2\) é ímpar e portanto não nulo. Analogamente, se \(p\) é ímpar e \(q\) é par, \(ap^2+bpq+cq^2\) é ímpar e assim não nulo;

Verificamos que \(ap^2+bpq+cq^2\) não se anula nestas condições. Portanto, chegamos a uma contradição pois \(p/q\) não é uma raiz da equação quadrática \(ax^2+bx+c=0\) com \(a\), \(b\) e \(c\) números ímpares.

A contradição resultou do facto de termos suposto que esta equação tinha raízes racionais. Logo, a equação \(ax^2+bx+c=0\) com \(a\), \(b\) e \(c\) números inteiros ímpares não tem raízes racionais.

QED

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Criada em 30 de Novembro de 2012
Revista em 21 de Maio de 2013
Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2017