Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Método de redução ao absurdo, Rev. Ciência Elem., V5(4):085
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.085]

O método de prova por redução ao absurdo

O método de redução ao absurdo é um método de prova matemática para validar se uma proposição do tipo:

é verdadeira.

Consiste no seguinte argumento: supômos que $\mathcal{Q}$ é falsa e provamos que então $\mathcal{P}$ também o é. Como? Em geral derivando uma "contradição" ou um "absurdo", isto é, algo incompatível com a veracidade assumida de $\mathcal{P}$.

Exemplos

$\sqrt{2}$ é um número irracional

Usando o método de redução ao absurdo provar que:

Note que isto pode ser posto na forma se ... então , ..., pondo se $\sqrt{2}$ é um número então $\sqrt{2}$ é irracional.

Suponho que $\sqrt{2}$ é um número racional e derivo uma contradição ou um absurdo.

Mas o que é um número racional? - é um número da forma $\displaystyle\frac{m}{n}$ com $m,n\in \mathbb{Z},\, n\neq 0$. De facto, e este é um elemento essencial na prova, podemos sempre supôr que a fracção $\displaystyle\frac{m}{n}$ é irredutível, isto é, que não existe qualquer inteiro $\neq 1$ que divide simultâneamente $m$ e $n$.

Agora a prova prossegue sem dificuldade:

• suponho que $\sqrt{2}$ é um número racional, isto é, que $\sqrt{2} =\displaystyle\frac{m}{n}$, com $m,n\in \mathbb{Z},\, n\neq 0$ e a fracção $\displaystyle\frac{m}{n}$ irredutível.
• então $2=\displaystyle\frac{m^2}{n^2}$ e portanto:

o que significa que $m^2$ é par.

• $m^2$ sendo par, $m$ também tem que ser par. Porquê? porque se $m$ fosse ímpar também $m^2$ o seria (prove isto).
• logo existe um inteiro $k\in \mathbb{Z}$ tal que $m=2k$
• substituindo na equação (*) vem que $(2k)^2=2n^2$, isto é, $n^2=2k^2$, o significa que $n^2$ é par.
• sendo $n^2$ par $n$ é também par
• concluímos pois que $m$ e $n$ são ambos pares, isto é, são ambos divisíveis por 2.
• mas isto é absurdo porque suposémos a fracção $\displaystyle\frac{m}{n}$ irredutível.

O absurdo resultou de termos suposto que $\sqrt{2}$ é um número racional. Logo $\sqrt{2}$ é um número irracional.

QED

Um outro

Utilizemos agora o método de redução ao absurdo para provar que:

Se $a$, $b$ e $c$ números inteiros ímpares então a equação quadrática $ax^2+bx+c=0$ não possui raízes racionais.

Suponhamos que $p/q$ é uma raiz racional da equação acima, com $p$ e $q$ primos entre si. Assim,

$\displaystyle a\left(\frac{p}{q}\right)^2 +b\left(\frac{p}{q}\right)+c=0 \, \Longrightarrow \, ap^2+bpq+cq^2=0$

• Se $p$ e $q$ são ímpares, então $ap^2+bpq+cq^2$ também é ímpar, portanto não nulo e daí que $p/q$ não seja solução da equação quadrática referida;

• Se $p$ é par e $q$ é ímpar, então $ap^2$ é par, $bpq$ é par e $cq^2$ é ímpar e portanto não nulo. Analogamente, se $p$ é ímpar e $q$ é par, $ap^2+bpq+cq^2$ é ímpar e assim não nulo;

Verificamos que $ap^2+bpq+cq^2$ não se anula nestas condições. Portanto, chegamos a uma contradição pois $p/q$ não é uma raiz da equação quadrática $ax^2+bx+c=0$ com $a$, $b$ e $c$ números ímpares.

A contradição resultou do facto de termos suposto que esta equação tinha raízes racionais. Logo, a equação $ax^2+bx+c=0$ com $a$, $b$ e $c$ números inteiros ímpares não tem raízes racionais.

QED