Função quadrática

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Função quadrática, Rev. Ciência Elem., V5(1):069
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.069]

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Definição

Uma função \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) chama-se uma função quadrática quando existem números reais \(a\), \(b\) e \(c\), com \(a \neq 0\), tais que \(f(x)=ax^2+bx+c\) para todo \(x \in \mathbb{R}\).

Propriedades

Sinal:

A função quadrática tem no máximo dois zeros. Determinar os zeros de uma função quadrática é equivalente a resolver a equação do 2ºgrau \(ax^2+bx+c=0\), assim poderá ser necessário recorrer à fórmula resolvente para equações do 2ºgrau. Se o discriminante \(\Delta=b^2-4ac\) for negativo, a função quadrática não tem zeros e portanto ou é sempre positiva ou sempre negativa. Se \(a >0\) a função é positiva para \(x \in \mathbb{R}\), pelo contrário se o coeficiente \(a<0\) então a função é negativa em todo o seu domínio. Ver figura 1. Se \(\Delta>0\) a função tem dois zeros, respetivamente: \(x_1=(-b-\sqrt{\Delta})/2a\quad\) ; \(\quad x_2=(-b+\sqrt{\Delta})/2a \quad\) com \(x_1<x_2\). Neste caso, se \(a>0\) a função é positiva no intervalo \(]-\infty,x_1[ \, \cup \, ]x_2,+\infty[\) e negativa para \(x \in \, ]x_1,x_2[\). Já se \(a<0\) a função toma valores positivos para \(x \in \, ]x_1,x_2[\) e valores negativos no intervalo \(]-\infty,x_1[ \, \cup \, ]x_2,+\infty[\). Ver figura 2. Finalmente se \(\Delta=0\) a função quadrática possui um único zero em \(x=-b/2a\). Neste caso, se \(a>0\) a função é positiva em \(x \in \, \mathbb{R} \backslash \{-b/2a\}\). Já se \(a<0\), a função é negativa em \(x \in \, \mathbb{R} \backslash \{-b/2a\}\). Ver figura 3.

\(a>0\) e zeros={\(x_1\), \(x_2\)} \[x\] \[-\infty\] \[x_1\] \[\quad\] \[x_2\] \[+\infty\] \(f(x)\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\) \(a<0\) e zeros={\(x_1\), \(x_2\)} \[x\] \[-\infty\] \[x_1\] \[\quad\] \[x_2\] \[+\infty\] \(f(x)\) \(-\) \(0\) \(+\) \(0\) \(-\)

Figura 1 -

Figura 2 -

Figura 3 -

Monotonia:

Suponhamos \(a>0\) e consideremos a forma canónica para a função quadrática \(f(x)\), \(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c=a\left[ \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2+ \frac{4ac-b^2}{4a^2} \right]\) Considerando a soma da duas parcelas no interior dos parêntesis retos, verificamos que a primeira depende de \(x\) e é sempre positiva. A segunda parcela é constante. Portanto, o menor valor desta soma é atingido quando \(\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2\) é igual a zero, ou seja, quando \(x=-b/2a\). Neste ponto, \(f(x)\) também assume o seu valor mínimo. Concluímos assim que, quando \(a>0\) o menor valor (mínimo da função) assumido por \(f(x)\) é: \(f(-b/2a)=c-(b^2/4a)\). Se \(a<0\), o valor \(f(-b/2a)\) é o maior dos números \(f(x)\) (máximo da função), para qualquer \(x \in \mathbb{R}\). Quando \(a>0\), \(f(x)=ax^2+bx+c\) não assume valor máximo, é assim uma função ilimitada superiormente. Analogamente, quando \(a<0\), \(f(x)\) não assume valor mínimo sendo assim uma função ilimitada inferiormente.

Se \(a>0\) \[x\] \[-\infty\] \[-b/2a\] \[+\infty\] \(f(x)\) \(\searrow\) Mín. \(f(-b/2a)\) \(\nearrow\) Se \(a<0\) \[x\] \[-\infty\] \[-b/2a\] \[+\infty\] \(f(x)\) \(\nearrow\) Máx. \(f(-b/2a)\) \(\searrow\)

Representação gráfica

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada pelo valor de \(a\). Se \(a>0\) a concavidade da parábola que representa a função quadrática é voltada para cima, se \(a<0\) a concavidade da parábola é voltada para baixo. A ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo dos \(yy\) é dado pelo valor de \(c\) pois, nesse ponto de interseção a abcissa é nula, ou seja \(x=0\), logo \(f(0)=a \times 0^2+b\times 0+c=c\). O vértice da parábola é o ponto onde a função quadrática toma o seu valor máximo (quando \(a<0\)) ou mínimo (quando \(a>0\)). Portanto as coordenadas deste ponto correspondem ao maximizante e máximo da função ou ao minimizante e mínimo da função, respetivamente. As coordenadas do vértice da parábola são \(\displaystyle \left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)=\left(\frac{-b}{2a}, c-\frac{b^2}{4a}\right)\). A reta de equação \(x=-b/2a\) define o eixo de simetria da parábola. Assim, o eixo de simetria da parábola contém sempre o vértice da mesma. Os zeros da função quadrática são os pontos em que a função se anula, este pontos correspondem aos pontos de interseção da parábola com o eixo dos \(xx\). Como já foi estudado anteriormente a função quadrática pode ter no máximo dois zeros. Mova os seletores a, b e c para alterar a função quadrática \(f(x)\). Verifique as propriedades acima enunciadas nomeadamente, as coordenadas dos pontos de interseção com os eixos coordenados.

Aplicação

A trajetória de um projétil lançado a partir de uma posição inicial \(P_o\), com uma velocidade inicial \({\bf v}_o\), é uma parábola. Estamos a supôr que a distância percorrida é pequena, que o projétil está apenas submetido à acção da força gravítica à superfície da terra suposta plana (não há atrito, por exemplo).

Comece por mover o ponto \(P_0\) e estabelecer a posição inicial do projétil. Mova os seletores \(v_0\), \(\theta\) e \(m\) para alterar respetivamente, a velocidade inicial \(v_0\) do projétil, o ângulo \(\theta\) que o vetor velocidade inicial faz com a parte positiva do eixo dos xx, e a massa \(m\) do projétil. O seletor \(g\) permite variar a aceleração da gravidade (em \(m/s^2\)). Por exemplo, à superfície da terra \(g=9.8 m/s^2\). Finalmente, \(t\) indica o tempo decorrido após o lançamento do projétil. Clique no botão play para observar o movimento do projétil. Note que a trajectória é independente da massa \(m\) do projétil!

Ver também

• Equação do 2º grau;

Referências

• LIMA, Elon Lages, CARVALHO Paulo Cezar, WAGNER Eduardo, MORGADO Augusto César (1997) "A Matemática do Ensino Médio - Volume 1" 2ªedição, Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro;

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Criada em 30 de Maio de 2013
Revista em 27 de Junho de 2013
Aceite pelo editor em 31 de Março de 2017