Diferencial

Da WikiCiências
Share/Save/Bookmark
Revisão das 08h30min de 20 de julho de 2021 por Admin (discussão | contribs)

(dif) ← Revisão anterior | Revisão actual (dif) | Revisão seguinte → (dif)
Ir para: navegação, pesquisa

Referência : Tavares, J. N., (2018) Diferencial, Rev. Ciência Elem., V6(1):088
Autor: João Nuno Tavares
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2018.088]
PDF Download


Dada uma função \displaystyle  f:D\subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}, suponha que existe a derivada de f num ponto a, interior ao domínio de f. Considere os pontos \displaystyle A(a,f(a)) e \displaystyle  B(a+h,f(a+h)), com \displaystyle h\neq 0, ambos sobre o gráfico de f, e a recta que os une.

Qual a equação cartesiana desta recta?

Como se sabe da geometria analítica plana, a equação da recta que une os pontos A e B é:

\displaystyle y-f(a)=\frac{f(a+h)}{(a+h)-a}(x-a)

ou:

\displaystyle   y=f(a)+ \Delta_af(h)\, (x-a)

Portanto o declive desta recta, isto é, a tangente do ângulo positivo que esta recta faz com a parte positiva do eixo dos xx, é igual à taxa média de variação de f em a.

Qual a posição limite desta recta quando \displaystyle h\to 0?

Quando \displaystyle h\to 0 a taxa média de variação de f em a, \displaystyle  \Delta_af, converge para a taxa instantânea de variação de f em a, isto é, converge para a derivada f'(a) de f em a (supondo que esta existe).

Portanto a recta que une A e B tem uma posição limite que não é mais do que a recta tangente ao gráfico de f no ponto \displaystyle  A=(a,f(a)). A respectiva equação é obtida a partir da equação anterior em , fazendo \displaystyle h\to 0 :

\displaystyle  y=f(a)+ f'(a) (x-a)

O declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto \displaystyle A=(a,f(a)), é pois igual à derivada \displaystyle f'(a) de f em a.

Considere ainda os pontos seguintes: \displaystyle   B=(a+h,f(a+h)) , no gráfico de f e \displaystyle B'=(a+h,f(a)+f'(a)\,h), na recta tangente ao gráfico de f no ponto \displaystyle  A(a,f(a))

A diferença das ordenadas destes dois pontos é igual a: \displaystyle f(a+h)- [f(a)+f'(a)\,h] e esta diferença é cada vez mais pequena quanto mais próximo de 0 estiver o "acréscimo" h. Neste sentido podemos pois dizer que o valor exacto \displaystyle f(a+h) é aproximadamente igual a \displaystyle f(a)+f'(a)\,h , sendo esta aproximação cada vez mais precisa quanto mais pequeno é o valor de h: \displaystyle f(a+h) \approx f(a)+ f'(a)h

Mais concretamente: se definirmos o erro \displaystyle e(a;h) através da diferença: \displaystyle e(a;h) \doteq f(a+h)- [f(a)+ f'(a)h ]  podemos dizer que: \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{e(a;h)}{h}=0 Diz-se então que o erro \displaystyle  e(a;h) é um infinitésimo de ordem superior a h.

A diferencial da função f no ponto a, é a função \displaystyle df_a:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} que a cada acréscimo \displaystyle h \in \mathbb{R} associa o valor \displaystyle df_a\doteq f'(a)\cdot h. É pois uma função linear em \displaystyle h - de facto a função linear que melhor aproxima f em a, no sentido em que:

\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac {(f(a+h)-f(a))- df_a(h)}{h}=0

que não é mais do que a versão formal do que se disse antes, e que se presta a generalização.



Criada em 25 de Novembro de 2009
Revista em 14 de Janeiro de 2010
Aceite pelo editor em 31 de Março de 2018