Diferencial
Referência : Tavares, J. N., (2018) Diferencial, Rev. Ciência Elem., V6(1):088
Autor: João Nuno Tavares
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2018.088]
Dada uma função , suponha que existe a derivada de f num ponto a, interior ao domínio de f.
Considere os pontos
e
, com
, ambos sobre o gráfico de f, e a recta que os une.
Qual a equação cartesiana desta recta?
Como se sabe da geometria analítica plana, a equação da recta que une os pontos A e B é:
ou:
Portanto o declive desta recta, isto é, a tangente do ângulo positivo que esta recta faz com a parte positiva do eixo dos xx, é igual à taxa média de variação de f em a.
Qual a posição limite desta recta quando ?
Quando a taxa média de variação de f em a,
, converge para a taxa instantânea de variação de f em a, isto é, converge para a derivada f'(a) de f em a (supondo que esta existe).
Portanto a recta que une A e B tem uma posição limite que não é mais do que a recta tangente ao gráfico de f no ponto . A respectiva
equação é obtida a partir da equação anterior em , fazendo
:
O declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto , é pois igual à derivada
de f em a.
Considere ainda os pontos seguintes:
, no gráfico de f e
, na recta tangente ao gráfico de f no ponto
A diferença das ordenadas destes dois pontos é igual a:
e esta diferença é cada vez mais pequena quanto mais próximo de 0 estiver o "acréscimo" h. Neste sentido podemos pois dizer que o valor exacto
é aproximadamente igual a
, sendo esta aproximação cada vez mais precisa quanto mais pequeno é o valor de h:
Mais concretamente: se definirmos o erro através da diferença:
podemos dizer que:
Diz-se então que o erro
é um infinitésimo de ordem superior a h.
A diferencial da função f no ponto a, é a função que a cada acréscimo
associa o valor
. É pois uma função linear em
- de facto a função linear que melhor aproxima f em a, no sentido em que:
que não é mais do que a versão formal do que se disse antes, e que se presta a generalização.
Criada em 25 de Novembro de 2009
Revista em 14 de Janeiro de 2010
Aceite pelo editor em 31 de Março de 2018