Produto escalar

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2019) Produto escalar, Rev. Ciência Elem., V7(2):039
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2019.039]

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Produto escalar de dois vetores

O produto escalar (euclidiano) de dois vetores \(\vec u = (u_1,u_2)\) e \(\vec v = (v_1,v_2)\) em \(\mathbb{R}^2\) define-se por: \[ \quad \vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2).(v_1,v_2)=u_1 v_1+u_2 v_2 \quad \] Da mesma forma se define o produto escalar de dois vetores \(\vec u = (u_1,u_2,u_3)\) e \(\vec v = (v_1,v_2,v_3)\) em \(\mathbb{R}^3\): \[ \quad \vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2,u_3).(v_1,v_2,v_3)=u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3 \quad \] Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, \(|\vec u \cdot \vec v| \le \|\vec u\|\|\vec v\|\), e considerando os dois vetores não nulos, deduzimos que \(\displaystyle \frac{|\vec u \cdot \vec v|}{\|\vec u\|\|\vec v\|} \le 1\), isto é, \(\displaystyle -1 \le \frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|} \le 1\). Portanto existe um único valor \(\theta \in [0,\pi]\) tal que \(\displaystyle \cos \theta=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\), já que a função cosseno restrita ao intervalo \([0,\pi]\) é uma função bijetiva sobre o intervalo \([-1,1]\). A este valor \(\theta\) chama-se o ângulo convexo entre dois vetores não nulos \(\vec u\) e \(\vec v\). Considerando \(\theta=(\vec u \mbox{^} \vec v) \in [0,\pi]\), esse ângulo define-se então através de: \[\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\| \|\vec v\|}\]

Daqui resulta outra expressão que nos permite determinar o produto escalar entre dois vetores,

\[ \quad \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\vec u \mbox{^} \vec v) \quad \]

Atenção: Do produto escalar entre dois vetores resulta um número real e não um vetor.

A norma de um vetor \(\,\vec u \in \mathbb{R}^2\) é dada por \(\|\vec u\|=\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2}\), \(u_1\) e \(u_2\) coordenadas de \(\vec u\). Já a norma de um vetor \(\vec u=(u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3\) é dada por \(\|\vec u\|=\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}\).

Propriedades

Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores, \(\vec u \) e \(\vec v\) não nulos:

\(\mathbf{[1]}\,\) Se \(\vec u\) e \(\vec v\) são dois vetores colineares podemos ter dois casos:

• \(\vec u\) e \(\vec v\) têm o mesmo sentido então \(\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|\) pois

\(\quad \quad \vec u\) e \(\vec v\) colineares com o mesmo sentido \(\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 0º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|\).

• \(\vec u\) e \(\vec v\) têm sentido contrário então \(\vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|\) pois

\(\quad \quad \vec u\) e \(\vec v\) colineares com o sentidos contrários \(\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 180º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=-1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|\).

\(\mathbf{[2]}\,\) \(\vec u \cdot \vec u=\|\vec u\|^2\) o que se deduz diretamente da propriedade anterior considerando \(\vec u\) e \(\vec u\) dois vetores colineares com o mesmo sentido.

\(\mathbf{[3]}\,\) \(\vec u \cdot \vec v=0 \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v\).

\(\quad \quad\) Neste caso temos de mostrar cada uma das implicações anteriores.

\(\quad \quad \vec u \cdot \vec v=0 \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\) mas \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\,\) e \(\,0\le\vec u \mbox{^} \vec v\le180º \, \Rightarrow \,\vec u \mbox{^} \vec v=90º\, \) ou seja, \(\vec u\) e \(\vec v\) são perpendiculares.

\(\quad\quad \)Acabamos então de provar que se o produto escalar entre dois vetores for igual a zero então esses vetores são perpendiculares.

\(\quad \quad\)Já se \(\vec u \perp \vec v \, \Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v=90º \, \Rightarrow \, (\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v =0\).

\(\quad\quad \)Provamos então que se dois vetores são perpendiculares então o produto escalar entre esses dois vetores é igual a zero.

\(\quad\quad\)Provadas as duas implicações provamos que \(\vec u \cdot \vec v \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v\).

\(\mathbf{[4]}\,\) Se \(\vec u \cdot \vec v < 0\) então o ângulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) é um ângulo obtuso, ou seja, \(90º < \vec u \mbox{^} \vec v < 180º\).

\(\quad\quad\) Para provar esta propriedade basta verificar que se \(\vec u \cdot \vec v < 0\,\) então \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)<0\) o que implica que \(\vec u \mbox{^} \vec v\) é um ângulo obtuso (de amplitude superior a \(90º\) e inferior a \(180º\)).

\(\mathbf{[5]}\,\) Se \(\vec u \cdot \vec v > 0\) então o ângulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) é ângulo agudo, ou seja, \(0º < \vec u \mbox{^} \vec v < 90º\).

\(\quad\quad\) Verifica-se que se \(\vec u \cdot \vec v > 0\,\) então \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)>0\) o que implica que \(\vec u \mbox{^} \vec v\) é um ângulo agudo (de amplitude superior a \(0º\) e inferior a \(90º\)).

\(\mathbf{[6]}\,\) \(\vec u \cdot \vec v=\vec v \cdot \vec u\).

\(\mathbf{[7]}\,\) \(k(\vec u \cdot \vec v)=(k\vec u) \cdot \vec v = \vec u \cdot (k \vec v)\), para todo o \(k \in \mathbb{R}\).

\(\mathbf{[8]}\,\) Propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores, \(\vec u \cdot (\vec v+\vec w)=\vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w\).

\(\mathbf{[9]}\,\) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: \(|\vec u \cdot \vec v| \le \|\vec u\| \|\vec v\|\).

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Criada em 22 de Novembro de 2018
Revista em 29 de Maio de 2019
Aceite pelo editor em 21 de Junho de 2019