Produto escalar
Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2019) Produto escalar, Rev. Ciência Elem., V7(2):039
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2019.039]
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Produto escalar de dois vetores
O produto escalar (euclidiano) de dois vetores →u=(u1,u2) e →v=(v1,v2) em R2 define-se por:
cos(→u^→v)=→u⋅→v‖→u‖‖→v‖ |
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Daqui resulta outra expressão que nos permite determinar o produto escalar entre dois vetores,
→u⋅→v=‖→u‖‖→v‖cos(→u^→v) |
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Atenção: Do produto escalar entre dois vetores resulta um número real e não um vetor.
A norma de um vetor →u∈R2 é dada por ‖→u‖=√u12+u22, u1 e u2 coordenadas de →u. Já a norma de um vetor →u=(u1,u2,u3)∈R3 é dada por ‖→u‖=√u12+u22+u32.
Propriedades
Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores, →u e →v não nulos:
[1] Se →u e →v são dois vetores colineares podemos ter dois casos:
- →u e →v têm o mesmo sentido então →u⋅→v=‖→u‖.‖→v‖ pois
→u e →v colineares com o mesmo sentido ⇒→u^→v=0º⇒cos(→u^→v)=1⇒→u⋅→v=‖→u‖.‖→v‖.
- →u e →v têm sentido contrário então →u⋅→v=−‖→u‖.‖→v‖ pois
→u e →v colineares com o sentidos contrários ⇒→u^→v=180º⇒cos(→u^→v)=−1⇒→u⋅→v=−‖→u‖.‖→v‖.
[2] →u⋅→u=‖→u‖2 o que se deduz diretamente da propriedade anterior considerando →u e →u dois vetores colineares com o mesmo sentido.
[3] →u⋅→v=0⟺→u⊥→v.
Neste caso temos de mostrar cada uma das implicações anteriores.
→u⋅→v=0⇒cos(→u^→v)=0 mas cos(→u^→v)=0 e 0≤→u^→v≤180º⇒→u^→v=90º ou seja, →u e →v são perpendiculares.
Acabamos então de provar que se o produto escalar entre dois vetores for igual a zero então esses vetores são perpendiculares.
Já se →u⊥→v⇒→u^→v=90º⇒(cos(→u^→v)=0⇒→u⋅→v=0.
Provamos então que se dois vetores são perpendiculares então o produto escalar entre esses dois vetores é igual a zero.
Provadas as duas implicações provamos que →u⋅→v⟺→u⊥→v.
[4] Se →u⋅→v<0 então o ângulo formado por →u e →v é um ângulo obtuso, ou seja, 90º<→u^→v<180º.
Para provar esta propriedade basta verificar que se →u⋅→v<0 então cos(→u^→v)<0 o que implica que →u^→v é um ângulo obtuso (de amplitude superior a 90º e inferior a 180º).
[5] Se →u⋅→v>0 então o ângulo formado por →u e →v é ângulo agudo, ou seja, 0º<→u^→v<90º.
Verifica-se que se →u⋅→v>0 então cos(→u^→v)>0 o que implica que →u^→v é um ângulo agudo (de amplitude superior a 0º e inferior a 90º).
[6] →u⋅→v=→v⋅→u.
[7] k(→u⋅→v)=(k→u)⋅→v=→u⋅(k→v), para todo o k∈R.
[8] Propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores, →u⋅(→v+→w)=→u⋅→v+→u⋅→w.
[9] Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |→u⋅→v|≤‖→u‖‖→v‖.
Criada em 22 de Novembro de 2018
Revista em 29 de Maio de 2019
Aceite pelo editor em 21 de Junho de 2019