Produto escalar

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Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2019) Produto escalar, Rev. Ciência Elem., V7(2):039
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2019.039]
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Índice

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Produto escalar de dois vetores

O produto escalar (euclidiano) de dois vetores u=(u1,u2) e v=(v1,v2) em R2 define-se por:
uv=(u1,u2).(v1,v2)=u1v1+u2v2


Da mesma forma se define o produto escalar de dois vetores u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3) em R3:

uv=(u1,u2,u3).(v1,v2,v3)=u1v1+u2v2+u3v3


Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, |uv|uv, e considerando os dois vetores não nulos, deduzimos que |uv|uv1, isto é, 1uvuv1.


Portanto existe um único valor θ[0,π] tal que cosθ=uvuv, já que a função cosseno restrita ao intervalo [0,π] é uma função bijetiva sobre o intervalo [1,1]. A este valor θ chama-se o ângulo convexo entre dois vetores não nulos u e v. Considerando θ=(u^v)[0,π], esse ângulo define-se então através de:

cos(u^v)=uvuv

Daqui resulta outra expressão que nos permite determinar o produto escalar entre dois vetores,

uv=uvcos(u^v)


Atenção: Do produto escalar entre dois vetores resulta um número real e não um vetor.


A norma de um vetor uR2 é dada por u=u12+u22, u1 e u2 coordenadas de u. Já a norma de um vetor u=(u1,u2,u3)R3 é dada por u=u12+u22+u32.


Propriedades

Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores, u e v não nulos:


[1] Se u e v são dois vetores colineares podemos ter dois casos:

  • u e v têm o mesmo sentido então uv=u.v pois

u e v colineares com o mesmo sentido u^v=0ºcos(u^v)=1uv=u.v.

  • u e v têm sentido contrário então uv=u.v pois

u e v colineares com o sentidos contrários u^v=180ºcos(u^v)=1uv=u.v.

[2] uu=u2 o que se deduz diretamente da propriedade anterior considerando u e u dois vetores colineares com o mesmo sentido.

[3] uv=0uv.

Neste caso temos de mostrar cada uma das implicações anteriores.

uv=0cos(u^v)=0 mas cos(u^v)=0 e 0u^v180ºu^v=90º ou seja, u e v são perpendiculares.

Acabamos então de provar que se o produto escalar entre dois vetores for igual a zero então esses vetores são perpendiculares.

Já se uvu^v=90º(cos(u^v)=0uv=0.

Provamos então que se dois vetores são perpendiculares então o produto escalar entre esses dois vetores é igual a zero.

Provadas as duas implicações provamos que uvuv.

[4] Se uv<0 então o ângulo formado por u e v é um ângulo obtuso, ou seja, 90º<u^v<180º.

Para provar esta propriedade basta verificar que se uv<0 então cos(u^v)<0 o que implica que u^v é um ângulo obtuso (de amplitude superior a 90º e inferior a 180º).

[5] Se uv>0 então o ângulo formado por u e v é ângulo agudo, ou seja, 0º<u^v<90º.

Verifica-se que se uv>0 então cos(u^v)>0 o que implica que u^v é um ângulo agudo (de amplitude superior a 0º e inferior a 90º).

[6] uv=vu.

[7] k(uv)=(ku)v=u(kv), para todo o kR.

[8] Propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores, u(v+w)=uv+uw.

[9] Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |uv|uv.




Criada em 22 de Novembro de 2018
Revista em 29 de Maio de 2019
Aceite pelo editor em 21 de Junho de 2019