Limites trigonométricos notáveis

Referência : Nuno Tavares, J., Geraldo, A. (2013), WikiCiências, 4(02):0765
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Francisco Rodrigues

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\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sin x}{x}\)

Quando a variável \(x\) é expressa em radianos

Da figura observamos: O triângulo \(ODB\) é semelhante ao triângulo \(OAC\) e daí que \(\displaystyle\frac{BD}{OD}=\displaystyle\frac{AC}{OA}\), isto é, \(\displaystyle\frac{r \sin x}{r\cos x}=\displaystyle\frac{AC}{r}\), o que implica que \(AC=\displaystyle r\frac{ \sin x}{ \cos x} =r\ \tan x\). \(DB < \mbox{arc}\ AB < AC\) isto é \(\displaystyle r \sin x <\displaystyle r\ x < \displaystyle r \tan x \) De facto, \(\mbox{arc}\ AB= r\, x\), uma vez que, por hipótese, \(x\) é expresso em radianos. Dividindo todos os membros por \(r>0 \), obtemos \( \sin x < x< \tan x \) Supondo que \(x> 0\), embora próximo de \(0\), sabemos que \(\sin x> 0\) e podemos dividir as desigualdades anteriores por \(\sin x> 0\), para obter \( 1 <\displaystyle\frac{x}{\sin x}< \displaystyle\frac{1}{\cos x} \) Fazendo \(x\to 0\), e atendendo a que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\cos x=1\), obtemos por enquadramento que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1\) Como \(\displaystyle\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), resulta também que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\tan x}{x}=1\) Note que este resultado é válido quando \(x\) é expresso em radianos .

Quando a variável \(xº\) é expressa em graus

Como no ponto anterior, temos que \(AC=\displaystyle r\frac{ \sin xº}{ \cos xº} =r\ \tan xº\), e \(DB < \mbox{arc}\ AB < AC\), isto é \(\displaystyle r \sin xº < \displaystyle\frac{\pi}{180º} r\ xº < \displaystyle r \tan xº \) já que agora \(a=\mbox{arc}\ AB= \displaystyle\frac{\pi}{180º}rxº \), uma vez que, por hipótese, \(xº\) é expresso em graus. De facto \(\begin{array}{ccc} 360º \longleftrightarrow 2\pi r\\ xº \longleftrightarrow a \end{array}\), o que implica que \(a=\mbox{arc}\ AB= \displaystyle\frac{\pi}{180º}rxº\). Dividindo todos os membros por \(r>0\), obtemos \(\displaystyle \sin xº < \displaystyle\frac{\pi}{180º} xº < \displaystyle \tan xº \) Supondo que mais uma vez que \(xº> 0\), embora próximo de \(0\), sabemos que \(\sin xº> 0\) e podemos dividir as desigualdades anteriores por \(\sin xº> 0\), para obter \( 1 < \displaystyle\frac{\pi}{180º}\displaystyle\frac{xº}{\sin xº}< \displaystyle\frac{1}{\cos xº} \) Fazendo \(xº\to 0\), e atendendo a que \(\displaystyle\lim_{xº\to 0}\cos xº=1\), obtemos por enquadramento que \(\displaystyle\lim_{xº\to 0}\displaystyle\frac{\sin xº}{xº}= \displaystyle\frac{\pi}{180º}\)

Note que este resultado é mais complicado do que o anterior, devido ao aparecimento do factor extra \(\displaystyle\frac{\pi}{180º}\) que resulta de ser \(\displaystyle xº=\frac{180º}{\pi}x\). Por isso há toda a conveniência em exprimir a variável em radianos, para que o limite seja: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sin x}{x} =1\).

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\cos x -1 }{x}=0\)

Supômos que \(x\) é expresso em radianos e aplicamos a fórmula trigonométrica \(\cos p-\cos q=-2\sin \displaystyle \frac{p+q}{2}\sin \displaystyle \frac{p-q}{2}\). Vem então que

\(\displaystyle\frac{\cos x -1 }{x}=\displaystyle\frac{\cos x -\cos 0 }{x}= \displaystyle\frac{-2\sin \displaystyle \frac{x}{2} \sin \displaystyle \frac{x}{2} }{x}\)

Daí que

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\cos x -1 }{x}=-\displaystyle \lim_{x\to 0} \displaystyle \frac{\sin(x/2) }{x/2} \displaystyle \lim_{x\to 0} \sin(x/2) =-1\times 0=0 \).

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Criada em 2 de Janeiro de 2013
Revista em 7 de Fevereiro de 2013
Aceite pelo editor em 7 de Fevereiro de 2013