Inequações

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Definição

Uma inequação a uma incógnita é uma desigualdade que comporta uma variável. Assim, dá-se o nome de inequação a uma desigualdade à qual não se pode atribuir um valor de verdade (dizer se é verdadeira ou falsa), porque o seu valor de verdade depende do valor que for atribuído à variável.

São exemplos de inequações: \(2x+3 > 10\), \(\quad 8-z \ge 11\).

Resolver uma inequação é determinar os conjuntos ou os intervalos de valores que se podem atribuir à variável de modo a tornar a desigualdade verdadeira.

Inequações de 1º grau

A resolução de inequações do 1ºgrau comporta os meus desafios e os mesmos procedimentos que a resolução de equações do 1ºgrau. Assim, o objetivo principal da resolução de inequações do 1ºgrau será isolar a incógnita num dos membros, ou seja, obter \(x> \dots\), \(\quad x < \dots\), \(\quad x \le \dots\) ou \(\quad x \ge \dots\). Na resolução destas inequações podemos utilizar as propriedades das desigualdades de forma a não modificar o seu valor de verdade. Para isso, podemos transformar a desigualdade por adição, subtração, multiplicação e divisão por um número positivo como fazemos na resolução de equações. No caso da multiplicação ou divisão por um número negativo, existe uma diferença essencial relativamente às equações, pois no caso das inequações será necessário alterar o sentido da desigualdade para manter o mesmo valor de verdade.

Qualquer inequação do 1ºgrau, pode ser reduzida, através das operações referidas anteriormente, a uma das quatro formas seguintes:

\(ax < b\), \(\quad ax > b\), \(\quad ax \le b \quad\) ou \(\quad ax \ge b\)

podendo \(a\) ser positivo ou negativo mas nunca nulo.

Exemplos

Como resolver a equação \(\displaystyle 2- \frac{x-3}{2} \le 5\)?

\(\displaystyle 2- \frac{x-3}{2} \le 5 \, \Longleftrightarrow \, 4-x+3 \le 10 \, \Longleftrightarrow \, -x \le 3 \, \Longleftrightarrow \, x \ge -3\)

Logo o conjunto-solução desta inequação é \(\quad ]-\infty, -3]\).

Inequações de 2º grau

Uma inequação do 2ºgrau (ou inequação quadrática) é uma inequação em que a incógnita toma grau dois num dos termos. Ou seja, é uma inequação do tipo

\(ax^2+bx+c \le 0\)

em que o sinal da desigualdade pode ser \(>, <, \le\) ou \(\ge\) e onde \(a \neq 0\).

Para a resolução de uma inequação quadrática precisamos de calcular as soluções da equação \(ax^2+bx+c=0\). Esse cálculo é feito através da fórmula resolvente para equações do 2ºgrau.

\(\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).

Seja \(\Delta=b^2-4ac\) o discriminante temos três casos:

• Se \(\Delta=0\) a equação tem apenas uma solução;
• Se \(\Delta >0\) a equação apresenta duas soluções distintas;
• Por fim, se \(\Delta<0\) a equação não tem soluções.

Consideremos a inequação quadrática do tipo \(ax^2+bx+c \le 0\) (os outros casos podem ser estudados da mesma forma).

Quando \(\Delta<0\), ou seja, a equação \(ax^2+bx+c=0\) não tem soluções, então temos dois casos:

• Se \(a>0\) a inequação não tem soluções reais;
• Se \(a<0\) a inequação é válida para \(x \in \mathbb{R}\).

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