Equações da reta

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Reta que passa num ponto e é perpendicular a um vetor

Equação cartesiana

Considerando um ponto \(A\) e um vetor \(\vec {\bf u}\), a reta que passa por \(A\) e é perpendicular a \(\vec {\bf u}\) é definida através da equação \(\vec \overrightarrow{AP} \cdot \vec {\bf u}\), com \(P\) um ponto genérico da reta considerada. Se \( \vec {\bf u}=(a,b)\) e \(\vec {AP}=(x,y)\), \(\vec {\bf u} \cdot \vec {AP}=(a,b) \cdot (x,y)=ax+by\), e então a equação escreve-se da forma, \[\quad ax + by=0 \quad\] \(\qquad\)e diz-se a equação cartesiana da reta referida.

Exemplos \(2x-y=0\) é a equação vetorial da reta ortogonal ao vetor \(\vec u =(2,-1)\). \(-x+3y+5=0\) é a equação vetorial do plano ortogonal ao vetor \(\vec u =(-1,3,5)\). \(3x-4z=0\) (em \(\mathbb{R}^3\)) é a equação vetorial da reta ortogonal ao vetor \(\vec u =(3,0,-4)\). Esta reta está contida no plano \(y=0\), ou seja no plano \(xOz\). Aplicação Como calcular a equação cartesiana da reta que passa em \(A=(-1,2)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec u=(3,4)\)? Consideramos \(P=(x,y)\) um ponto genérico dessa reta, então o vetor \(\overrightarrow{AP}=P-A=(x,y)-(-1,2)=(x+1,y-2)\) é ortogonal ao vetor \(\vec u\). Portanto, \(\overrightarrow{AP} \cdot \vec u=0\), isto é, \((x+1,y-2) \cdot (3,4)=0 \, \Longleftrightarrow \, 3(x+1)+4(y-2)=0 \, \Longleftrightarrow \, 3x+4y=5\).

Equação vetorial

Considerando a mesma reta, \(\vec u \cdot \vec x =0\), vejamos que o vetor \(\vec v=(-b,a)\) pertence à reta uma vez que \(\vec u \cdot \vec v=(a,b) \cdot (-b,a)= -ab+ba=0\). Portanto a reta é também o conjunto de todos os vetores \(\vec x\) que são múltiplos escalares do vetor \(\vec v\). Isto é,

\[ax+by=0 \, \Longleftrightarrow\]	\[\,\{\vec x \in \mathbb{R}^2: \vec x=t(-b,a), \quad t \in \mathbb{R}\}\]

A equação \(\vec x=t \vec v\) diz-se equação vetorial da reta referida.

Equações paramétricas

Se \(\vec x =(x,y)\), como \(\vec v=(-b,a)\), então \(\vec x=t \vec v \, \Leftrightarrow \, (x,y)=t(-b,a) \, \Leftrightarrow \, x=-tb \wedge y=ta\), sendo que assim a equação vetorial é equivalente ao sistema de duas equações seguinte: \[ \left\{\begin{array}{ll} x=-tb & \\ & , t \in \mathbb{R} \\ y=ta & \end{array} \right.\] Que se dizem equações paramétricas da reta referida. Quando o "tempo" \(t\) varia, elas representam o movimento de um ponto (partícula) que se desloca sobre a reta com movimento uniforme de vetor-velocidade \(\vec v=(-b,a)\) e velocidade (escalar) \(v=\|\vec v\|=\sqrt{a^2+b^2}\).

Aplicação Como calcular as equações paramétricas da reta que passa no ponto \(A=(2,-3)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec u=(1,4)\)? O vetor \(\vec v=(-4,1)\) é perpendicular ao vetor \(\vec u\) pois \(\vec u \cdot \vec v=(1,4) \cdot (-4,1)=-4+4=0\). Portanto, pretendemos as equações paramétricas da reta que passa em \(A\) e é paralela ao vetor \(\vec v\). Se \(P=(x,y)\) um ponto genérico dessa reta, então \(\overrightarrow{AP}=P-A=(x,y)-(2,-3)=(x-2,y+3)\) é um múltiplo escalar do vetor \(\vec v\), isto é, \(\overrightarrow{AP}=t\vec v\), ou seja, \((x-2,y+3)=t(-4,1) \, \Longleftrightarrow \, \left\{\begin{array}{ll} x=2-4t \\ y=-3+t \, , \quad t \in \mathbb{R}\end{array}\right.\)

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Reta que passa por dois pontos

Equação vetorial

Pretendemos agora determinar a equação de uma reta que passa em dois pontos distintos. Temos então dois casos: No plano, sejam \(A=(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\) esses dois pontos, queremos então determinar a equação da reta que passa por \(A\) e é paralela ao vetor \(\overrightarrow{AB}\). Se \(P=(x,y)\) é um ponto genérico dessa reta temos que, \[P=A+t\overrightarrow{AB}\, , \quad t \in \mathbb{R}\] que é chamada a equação vetorial da reta. Em coordenadas, \((x,y)=(x_A,y_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}\). No espaço, considerando \(A=(x_A,y_A,z_A)\) e \(B=(x_B,y_B,z_B)\) os dois pontos pelos quais passa a reta a sua equação vetorial é: \[(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}\].

Aplicação Como calcular a equação vetorial da reta que passa pelos pontos \(A=(2,-1,0)\) e \(B=(-3,1,2)\)? Consideramos \(P=(x,y,z)\) um ponto genérico dessa reta. A reta pretendida passa pelos pontos \(A\) e \(B\) por isso é uma reta paralela ao vetor \(\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,1,2)-(2,-1,0)=(-5,0,2)\). Portanto a equação vetorial dessa reta é dada por: \(P=A+t\overrightarrow{AB} \, \Longleftrightarrow \, (x,y,z)=(2,-1,0)+t(-5,0,2) \, , \quad t \in \mathbb{R}\)

Equações paramétricas

Das equações vetoriais da reta anteriores podemos obter as equações paramétricas. Para o caso em que \(A\) e \(B\) são pontos em \(\mathbb{R}^2\) a equação vetorial da reta é equivalente a \(x=x_A+t(x_b-x_A) \, \wedge \, y=y_A+t(y_B-y_A)\), ou num sistema:

\[ \quad \left\{\begin{array}{ll} x=x_A+t(x_B-x_A) & \\ & , t \in \mathbb{R} \\ y=y_A+t(y_B-y_A) & \end{array} \right. \quad\]

Para o caso em que \(A\) e \(B\) são pontos em \(\mathbb{R}^3\) a equação vetorial da reta é equivalente a \(x=x_A+t(x_b-x_A) \, \wedge \, y=y_A+t(y_B-y_A) \, \wedge \, z=z_A+t(z_B-z_A)\), ou num sistema, considerando \(t \in \mathbb{R}\):

\[ \quad\left\{\begin{array}{l} x=x_A+t(x_B-x_A) \\ y=y_A+t(y_B-y_A) \\ z=z_A+t(z_B-z_A) \end{array} \right. \quad\]

Equação cartesiana

Simplificando os sistemas anteriores e eliminando o parâmetro \(t\), obtemos do primeiro sistema a equação cartesiana da reta no plano, que passa pelos pontos \(A=(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\):

\[\quad(y_B-y_A)(x-x_A)=(y-y_A)(x_B-x_A)\quad\]

• Se \(x_B-x_A=0\), então \(y_B-y_A \neq 0\), pois os dois pontos são distintos, e a reta é uma reta vertical de equação \(x=x_A\).
• Se \(y_B-y_A=0\), então \(x_B-x_A \neq 0\), pois os dois pontos são distintos, e a reta é uma reta horizontal de equação \(y=y_A\).
• Se \(x_B-x_A \neq 0\) e \(y_B-y_A \neq 0\), a reta tem por equação:

\[y=y_A+\frac{(y_B-y_A)}{(x_B-x_A)}(x-x_A)\]

Do segundo sistema obtemos a equação cartesiana da reta que passa em \(A\) e \(B\) no espaço, com \(A, B \in \mathbb{R}^3\).

\[\quad\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}\quad\]

Equação reduzida de uma reta

Inclinação e declive da reta

A inclinação de uma reta é o menor ângulo positivo \(\alpha\) que a reta faz com a parte positiva do eixo dos \(xx\). Considerando dois pontos dessa reta, \(A(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\), o declive da reta, usualmente denominado por \(m\), é o quociente entre a diferença das ordenadas e a diferença das abcissas de dois pontos dessa mesma reta, ou seja, \[m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\] Se \(x_B-x_A \neq 0\) e \(y_B-y_A\neq 0\) então temos uma reta não vertical e não horizontal. Se \(x_B-x_A=0\) a reta é vertical e diz-se que o seu declive é infinito. Já se \(y_B-y_A=0\) temos uma reta horizontal (com declive nulo). Através da trigonometria, o declive de uma reta é diretamente associado à inclinação da mesma pois, pela definição de tangente de um ângulo concluímos que o declive da reta é igual à tangente da inclinação da mesma, ou seja: \[m=\tan \alpha\].

Fig.1 - Inclinação \(\alpha\) e declive de uma reta.

Equação \(y=mx+b\)

A equação reduzida de uma reta no plano é definida através da expressão,

\[y=mx+b\]

em que \(m\) é o declive da reta e \(b\) a ordenada na origem. O valor \(b\) é assim a ordenada do ponto de interseção da reta considerada com o eixo dos \(yy\), ponto \((0,b)\), ou o valor que se obtém para \(y\) quando substituímos o valor de \(x\) por zero.

Aplicação

Como calcular a equação reduzida da reta que passa pelos pontos \(A=(2,-1)\) e \(B=(4,6)\)?

Começamos por determinar o declive da reta: \(\displaystyle m=\frac{6-(-1)}{4-2} \, \Leftrightarrow \, m=\frac{7}{2}\). Temos então que \(\displaystyle y=\frac{7}{2}x+b\). Para determinarmos o valor de \(b\) basta substituirmos na expressão anterior os valores de \(x\) e \(y\) pelas coordenadas de um dos pontos. Substituindo pelas coordenadas de \(A\) obtemos:

\(\displaystyle -1=\frac{7}{2}\times 2 +b \, \Leftrightarrow \, b=-1-7=-8\).

Concluímos então que a equação da reta pretendida é \(\displaystyle y=\frac{7}{2}x-8\).