Função exponencial

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Definição

Seja \(a\) um número real positivo, \(a \neq 1\), a função exponencial de base \(a\), \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{+}\), indicada pela notação \(f(x)=a^x\), é definida de modo a ter as seguintes propriedades, para quaisquer \(x\) e \(y\) \(\in \mathbb{R}\):

• \(a^x . \,a^y=a^{x+y}\);

• \(a^1=a\);

• \(x<y \, \Rightarrow \, a^x<a^y\) para \(a>1\) e \(x<y \, \Rightarrow \, a^x>a^y\) para \(0<a<1\).

Mais propriedades

Monotonia:

A terceira propriedade acima descrita diz que a função exponencial é uma função monótona, estritamente crescente quando \(a>1\) e estritamente decrescente quando \(0<a<1\).

Sinal:

Sendo \(a>0\) então \(a^x>0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\). Portanto, a função exponencial é positiva em todo o seu domínio, ou seja, positiva em \(\mathbb{R}\).

Sendo a função exponencial uma função positiva não tem zeros.

Injetividade:

A injetividade da função exponencial decorre da terceira propriedade da secção anterior ou mesmo do facto de ser uma função monótona. Temos assim que se \(x_1 \neq x_2\) então \(a^{x_1} \neq a^{x_2}\)

Continuidade:

A função exponencial é uma função contínua em todo o seu domínio.

Paridade:

Uma função par é uma função tal que \(f(x)=f(-x)\),vejamos então se a função exponencial é par:

\(f(x)=a^x\) \(\dislaystyle f(-x)=a^{-x}={\frac{1}{a}}^{x}\)

Uma vez que existem valores de \(x\) para os quais \(f(x) \neq f(-x)\) a função não é par.

Uma função ímpar é umafunção tal que \(f(x)=-f(-x)\), vejamos então se a função exponencial é ímpar:

\(\displaystyle -f(-x)=-a^{-x}=-{\frac{1}{a}}^{x}\) que é necessariamente diferente de \(f(x)\) pois é negativa e \(f(x)\) é positiva. Portanto a função não é ímpar

Daqui resulta que a função exponencial não é par nem é ímpar, o que em termos da representação gráfica significa que não é simétrica em relação ao eixo das ordenadas nem em relação à origem do referencial.

Referências

• LIMA, Elon Lages, CARVALHO Paulo Cezar, WAGNER Eduardo, MORGADO Augusto César (1997) "A Matemática do Ensino Médio - Volume 1" 2ªedição, Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, rio de Janeiro..