Ângulo (medidas)

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Ângulos orientados

Noção de ângulo

Uma semi-reta de origem $O$, pertencente a um dado plano, pode mover-se nesse plano rodando em torno de $O$ em dois sentidos: ou no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio que será o sentido positivo, ou no sentido oposto, sentido negativo. Quando a semi-reta partindo da posição $a$, roda em torno da origem $O$ acabando por ocupar a posição $b$, diz-se que descreveu o ângulo $\angle a,b$. À semi-reta $a$ chamamos lado origem e à semi-reta $b$ lado extremidade. O ponto $O$ é o vértice do ângulo.

Assim, o ângulo é positivo ou negativo, conforme o sentido de rotação que leva o lado origem a ocupar a posição lado extremidade seja positivo ou negativo. Nestas condições, a ordem pela qual se consideram lados do ângulo não é indiferente tendo o ângulo um sentido (ângulo orientado).

Quando a semi-reta $a$ descreve uma rotação em torno da origem $O$ de tal forma que vem a ocupar a posição inicial, efetuando assim uma revolução completa num dado sentido, dizemos que essa semi-reta descreveu o ângulo de um giro, ou mais simplesmente, um ângulo giro. E como nada impede que esse movimento de rotação continue (no sentido positivo ou negativo), concebem-se assim ângulos (positivos ou negativos) que podem exceder um ou mais ângulos giros.

Portanto, um par ordenado $(a,b)$ de duas semi-retas com a mesma origem $O$ corresponde a um ser geométrico múltiplo chamado ângulo trigonométrico, constituído por um número infinito de determinações, cada uma das quais se refere à amplitude e sentido da rotação que leva o lado origem a coincidir com o lado extremidade.

Medida dos ângulos

Se $A$ e $U$ forem duas grandezas (da mesma espécie contínua) e se $U$ for não nula, existe um e um só número real $\alpha$ tal que, $A=\alpha U$. A este número $\alpha$ chama-se a medida de $A$ relativamente a $U$. Determinar $\alpha$ é medir a grandeza $A$ tomando para unidade a grandeza $U$.

Considerando agora os ângulos orientados, podemos afirmar que dados dois ângulos $A$ e $U$ ($U$ não nulo), existe um e um só número real $m$ tal que, $A=m U$. O número $m$ representa assim a medida do ângulo $A$ relativamente à unidade $U$.

Fixada a unidade $U$ estabelece-se assim uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos ângulos orientados e conjunto dos números reais (medidas dos ângulos). Esta correspondência é tal que a relação de igualdade, a relação de grandeza e a adição de ângulos se traduz, respetivamente, na relação de igualdade, na relação de grandeza e na adição de números reais.

A escolha da unidade $U$ é arbitrária, mas habitualmente usa-se um dos três sistemas de unidades definidos em seguida.

Sistema sexagesimal

No sistema sexagesimal admite-se como unidade fundamental o grau. Um grau corresponde a $\displaystyle \frac{1}{90}$ do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.

Assim sendo, um ângulo reto mede $90º$ (90 graus) e um ângulo giro mede $360º$ (360 graus) pois 90$\times$4=360.

Como submúltiplos do grau usam-se: O minuto sexagesimal $(1')$ corresponde a $\displaystyle \frac{1}{60}$ do grau, ou seja, 60 minutos sexagesimais são 1 grau. O segundo sexagesimal $(1' ')$ corresponde a $\displaystyle \frac{1}{60}$ do minuto e portanto $\displaystyle \frac{1}{3600}$ do grau, ou seja, 3600 segundos sexagesimais são 1 grau. O décimo do segundo, o centésimo do segundo etc.

Submúltiplos do grau Um grau Minutos 60 Segundos 3600 Décimos de segundo 36000 Centésimos do segundo 360000 $\dots$ $\dots$

Exemplo

Um ângulo composto de 30 graus, 12 minutos, 8 segundos e 2 centésimos que simbolicamente podemos representar por $30º$ $12'$ $8' '$ $,02$

tem uma medida em graus de $\displaystyle 30+\frac{12}{60}+\frac{8}{3600}+\frac{2}{360\times 100} \simeq 30,2023$.

Para indicar a medida deste ângulo usamos habitualmente a notação $30º$ $12'$ $8' '$ $,02$ para nos referirmos ao número anterior.

Sistema centesimal

No sistema centesimal admite-se como unidade fundamental o grado. Um grado corresponde a $\displaystyle \frac{1}{100}$ do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.

Assim sendo, um ângulo reto mede $100^{g}$ (100 grados) e um ângulo giro mede $400^{g}$ (400 grados) pois 100$\times$4=400.

Como submúltiplos do grado usam-se: O minuto centesimal $(1^{‵})$ corresponde a $\displaystyle \frac{1}{100}$ do grau, ou seja, 100 minutos centesimais são 1 grado. O segundo centesimal $(1‶)$ corresponde a $\displaystyle \frac{1}{100}$ do minuto e portanto $\displaystyle \frac{1}{10000}$ do grado, ou seja, 10000 segundos centesimais são 1 grado. O décimo do segundo centesimal, o centésimo do segundo centesimal etc.

Submúltiplos do grado Um grado Minutos 100 Segundos 10000 Décimos de segundo centesimal 100000 Centésimos do segundo centesimal 1000000 $\dots$ $\dots$

Exemplo

Um ângulo composto de 20 grados, 8 minutos e 24 segundos que simbolicamente podemos representar por $20^{g}$ $8^{‵}$ $24‶$

tem uma medida em grados de $\displaystyle 20+\frac{8}{100}+\frac{24}{10000}=20,0824$.

Para indicar a medida deste ângulo no sistema centesimal usamos habitualmente a notação \$20^{g}$ $8^{‵}$ $24‶$ para nos referirmos ao número anterior.

Sistema circular

No sistema circular a unidade de medida é o radiano. Como sabemos um radiano é a medida de um ângulo ao centro definido num círculo por um arco com o mesmo comprimento que o raio do círculo. Sabemos também que existe proporcionalidade direta entre a medida de um ângulo ao centro e o comprimento do arco correspondente. Considerando o ângulo da figura 1 podemos então estabelecer que:

$$\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo giro}}=\frac{\mbox{comprimento do arco } AB}{\mbox{comprimento da circunferência}}$$

Como o comprimento do arco $AB$ é igual ao raio do círculo, resulta que

$$\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo giro}}=\frac{r}{2\pi r}=\frac{1}{2\pi}$$

Esta relação mostra que a medida de um ângulo giro é de $2\pi$ radianos. Estabelecendo a relação com os dois sistemas de unidades anteriores temos que:

$360º=2\pi \mbox{ radianos}$ e $400^{g}=2\pi \mbox{ radianos}$

Daqui resulta que,

$\displaystyle 1 \mbox{ radiano}={\left(\frac{360}{2\pi}\right)}^{\circ} \simeq 57º \,\, 17' \,\, 45' '$

$\displaystyle 1 \mbox{ radiano}=\left(\frac{400}{2\pi}\right)^{g} \simeq 63º \,\, 66^{‵} \,\, 20‶$

Referências

1. J. Jorge G. Calado (1974) "Compêndio de Trigonometria" 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.
2. Elemento 2
3. Elemento 3