Ângulo (medidas)
Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2018) Ângulo (medidas), Rev. Ciência Elem., V6(4):075
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2018.075]
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Ângulos e rotações
Quando um ponto \(P\) se move sobre uma circunferência, de centro \(O\), rodando no sentido positivo (anti-horário), partindo de uma certa posição inicial \(Q\), quando ele regressa a \(Q\), após descrever uma volta inteira, diz-se que o ponto \(P\) (ou a semi-recta \(OP\), se preferir) descreveu um ângulo (de rotação) (orientado) igual a \(360º\).
Se o ponto descreve um quarto de volta, o ângulo (de rotação) será igual a \(\displaystyle\frac{1}{4}\times 360º=90º\). Um outro exemplo, \(300º\) representa o valor do ângulo correspondente à rotação positiva de P de \(\displaystyle\frac{300}{360}= \displaystyle\frac{15}{18}\) de volta inteira.
Quando \(P\) roda no sentido negativo (horário), os ângulos são negativos.
Não há qualquer razão matemática para que uma volta inteira corresponda a \(360º\), ou, de outra forma, para que a unidade de medida seja o grau = \(\displaystyle\frac{1}{360}\) de volta inteira. De facto a única razão é de carácter histórico - é assim desde a antiguidade clássica. Como veremos, existe uma unidade de medida mais apropriada do ponto de vista matemático - o radiano.
Mas o que significa um ângulo (de rotação) de \(500º\)? Como \(5800º=360º+140º\), significa que o ponto P deu uma volta inteira, no sentido positivo, a que correspondem \(360º\), e depois continuou a rodar descrevendo um ângulo (de rotação) correspondente à rotação positiva de \(P\) de \(\displaystyle\frac{140}{360}= \displaystyle\frac{7}{18}\) de volta inteira (veja a figura).
Podemos pois definir ângulos de rotação, ou mais simplesmente, ângulos de qualquer valor, racional ou irracional, positivo ou negativo, medidos em graus.
Ângulos orientados
Noção de ângulo
| Uma semi-reta de origem \(O\), pertencente a um dado plano, pode mover-se nesse plano rodando em
torno de \(O\) em dois sentidos: ou no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio que será o
sentido positivo, ou no sentido oposto, sentido negativo.
Quando a semi-reta partindo da posição \(a\), roda em torno da origem \(O\) acabando por ocupar a posição \(b\), diz-se que descreveu o ângulo \(\angle a,b\). À semi-reta \(a\) chamamos lado origem e à semi-reta \(b\) lado extremidade. O ponto \(O\) é o vértice do ângulo. Assim, o ângulo é positivo ou negativo, conforme o sentido de rotação que leva o lado origem a ocupar a posição lado extremidade seja positivo ou negativo. Nestas condições, a ordem pela qual se consideram lados do ângulo não é indiferente tendo o ângulo um sentido (ângulo orientado). Quando a semirreta a descreve uma rotação em torno da origem O de tal forma que vem a ocupar a posição inicial, efetuando assim uma revolução completa num dado sentido, dizemos que essa semirreta descreveu o ângulo de um giro, ou mais simplesmente, um ângulo giro. E como nada impede que esse movimento de rotação continue (no sentido positivo ou negativo), concebem-se assim ângulos (positivos ou negativos) que podem exceder um ou mais ângulos giros. Portanto, um par ordenado (a,b) de duas semirretas com a mesma origem O corresponde a um ser geométrico múltiplo chamado ângulo trigonométrico, constituído por um número infinito de determinações, cada uma das quais se refere à amplitude e sentido da rotação que leva o lado origem a coincidir com o lado extremidade. |
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Medida dos ângulos
Se \(A\) e \(U\) forem duas grandezas (da mesma espécie contínua) e se \(U\) for não nula, existe um e um só número real \(\alpha\) tal que, \(A=\alpha U\). A este número \(\alpha\) chama-se a medida de \(A\) relativamente a \(U\). Determinar \(\alpha\) é medir a grandeza \(A\) tomando para unidade a grandeza \(U\).
Considerando agora os ângulos orientados, podemos afirmar que dadas duas determinações \(A\) e \(U\), (\(U\) não nulo), de dois ângulos, existe um e um só número real \(m\) tal que, \(A=m U\). O número \(m\) representa assim a medida da determinação do ângulo \(A\) relativamente à unidade \(U\).
Fixada a unidade \(U\) estabelece-se assim uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos ângulos orientados e conjunto dos números reais (medidas dos ângulos). Esta correspondência é tal que a relação de igualdade, a relação de grandeza e a adição de ângulos se traduz, respetivamente, na relação de igualdade, na relação de grandeza e na adição de números reais.
A escolha da unidade \(U\) é arbitrária, mas habitualmente usa-se um dos três sistemas de unidades definidos em seguida.
Sistema sexagesimal
No sistema sexagesimal admite-se como unidade fundamental o grau. Um grau corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{90}\) do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.
Assim sendo, um ângulo reto mede \(90º\) (90 graus) e um ângulo giro mede \(360º\) (360 graus) pois \(90\times4=360\).
| Como submúltiplos do grau usam-se:
O minuto sexagesimal \((1')\) corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{60}\) do grau, ou seja, 60 minutos sexagesimais são 1 grau. O segundo sexagesimal \((1' ')\) corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{60}\) do minuto e portanto \(\displaystyle \frac{1}{3600}\) do grau, ou seja, 3600 segundos sexagesimais são 1 grau. O décimo do segundo, o centésimo do segundo etc.
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Exemplo
Um ângulo composto de 30 graus, 12 minutos, 8 segundos e 2 centésimos que simbolicamente podemos representar por \(30º\) \(12'\) \(8' '\) \(,02\) tem uma medida em graus de \(\displaystyle 30+\frac{12}{60}+\frac{8}{3600}+\frac{2}{360\times 100} \simeq 30,2023\).
Para indicar a medida deste ângulo usamos habitualmente a notação \(30º\) \(12'\) \(8' '\) \(,02\) para nos referirmos ao número anterior.
Sistema centesimal
No sistema centesimal admite-se como unidade fundamental o grado. Um grado corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{100}\) do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.
Assim sendo, um ângulo reto mede \(100^{g}\) (100 grados) e um ângulo giro mede \(400^{g}\) (400 grados) pois \(100\times\)4=400).
| Como submúltiplos do grado usam-se: O minuto centesimal \((1^{‵})\) corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{100}\) do grau, ou seja, 100 minutos centesimais são 1 grado. O segundo centesimal \((1‶)\) corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{100}\) do minuto e portanto \(\displaystyle \frac{1}{10000}\) do grado, ou seja, 10000 segundos centesimais são 1 grado. O décimo do segundo centesimal, o centésimo do segundo centesimal etc.
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Exemplo
Um ângulo composto de 20 grados, 8 minutos e 24 segundos que simbolicamente podemos representar por \(20^{g}\) \(8^{‵}\) \(24‶\) tem uma medida em grados de \(\displaystyle 20+\frac{8}{100}+\frac{24}{10000}=20,0824\).
Para indicar a medida deste ângulo no sistema centesimal usamos habitualmente a notação \(20^{g}\) \(8^{‵}\) \(24‶\) para nos referirmos ao número anterior.
Sistema circular
No sistema circular a unidade de medida é o radiano. Como sabemos um radiano é a medida de um ângulo ao centro definido num círculo por um arco com o mesmo comprimento que o raio do círculo. Sabemos também que existe proporcionalidade direta entre a medida de um ângulo ao centro e o comprimento do arco correspondente. Considerando o ângulo da FIGURA 1 podemos então estabelecer que:
\[\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo giro}}=\frac{\mbox{comprimento do arco } AB}{\mbox{comprimento da circunferência}}\]
Como o comprimento do arco \(AB\) é igual ao raio do círculo, resulta que
\[\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo giro}}=\frac{r}{2\pi r}=\frac{1}{2\pi}\]
Esta relação mostra que a medida de um ângulo giro é de \(2\pi\) radianos. Estabelecendo a relação com os dois sistemas de unidades anteriores temos que:
\(360º=2\pi \mbox{ radianos}\) e \(400^{g}=2\pi \mbox{ radianos}\)
Daqui resulta que,
\(\displaystyle 1 \mbox{ radiano}={\left(\frac{360}{2\pi}\right)}^{\circ} \simeq \, 57º \,\, 17' \,\, 45' '\)
\(\displaystyle 1 \mbox{ radiano}=\left(\frac{400}{2\pi}\right)^{g} \simeq \, 63,6620^g \)
Passagem de um sistema de unidades para outro
Consideremos um ângulo \(\angle a,b\) qualquer e designemos por \(s\), \(c\) e \(d\) as suas medidas nos sistemas sexagesinal, centesimal e circular, respetivamente. Necessitamos de estabelecer uma relação destas medidas com medidas já conhecidas, como por exemplo, a medida de um ângulo raso, que é de \(180º\) no sistema sexagesimal, de \(200^{g}\) no centesimal e de \(\pi \mbox{ rad}\) no circular. Como a razão entre grandezas da mesma espécie é o quociente das suas medidas relativamente a uma unidade comum, resulta que a razão entre o ângulo \(\angle a,b\) e o ângulo raso pode ser expressa pelos números \(\displaystyle \frac{s}{180}\), \(\displaystyle \frac{c}{200}\) ou por \(\displaystyle \frac{d}{\pi}\).
Como os três números anteriores são iguais então temos que:
| \[\quad \frac{s}{180}=\frac{c}{200}=\frac{d}{\pi} \quad\] |
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Esta relação permite-nos, conhecendo a medida de um ângulo num dos sistemas, determinar a medida desse mesmo ângulo num dos outros dois sistemas de unidades.
Exemplo
Cálculo das medidas do ângulo \(28º\) \(48'\) nos sistemas centesimal e circular.
Usando a relação anterior temos que \(s=28,8\) pois \(48'=0,8º\),então
\(\displaystyle \frac{28,8}{180}=\frac{c}{200} \, \Leftrightarrow \, c=\frac{200 \times 28,8}{180}=32\)
Da mesma forma determinamos a medida do ângulo no sistema circular:
\(\displaystyle \frac{28,8}{180}=\frac{d}{\pi} \, \Leftrightarrow \, d=\frac{\pi \times 28,8}{180}=\frac{28,8}{180}\pi=\frac{4}{25}\pi \simeq 0,503\)
Logo, o ângulo \(28º\) \(48'\) mede \(32^{g}\) no sistema centesimal e aproximadamente \(0,503 \mbox{ rad}\) no sistema circular.
Notas históricas
Dos três sistemas de unidade descritos anteriormente é o sistema circular que parece suscitar maior interesse teórico pela quantidade de assuntos matemáticos em que intervém. Já os outros dois sistemas, sistema sexagesimal e sistema centesimal, são mais utilizados nas aplicações práticas mais elementares.
O sistema sexagesimal será, dos três sistemas de unidades, o mais antigo, como podemos ler na Enciclopédia das Matemáticas Elementares (Berzolari, Milão, 1937, Vol.II p.545), «O sistema sexagesimal é de origem remotíssima. Os Babilónios dividiam a circunferência em 360 partes iguais e esta subdivisão transmitiu-se aos Gregos e Árabes e chegou até nós».
O sistema centesimal parece datar do séc.XV. O notável geómetra H.Briggs (1556-1630) utilizou a subdivisão centesimal na construção duma tábua trigonométrica. Mais tarde, o matemático francês J.L.Lagrange (1736-1813) mostrou-se defensor da substituição do sistema sexagesimal pelo sistema centesimal de unidades de medida de ângulo. Apesar do sistema centesimal ser mais cómodo a nível de cálculo, uma vez que se usam medidas expressas em números decimais, ainda hoje podemos verificar que o sistema mais utilizado e mais comum é o sistema sexagesimal.
Referências
- J. Jorge G. Calado (1974) "Compêndio de Trigonometria" 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.
Recursos relacionados disponíveis na Casa das Ciências:
Criada em 17 de Fevereiro de 2013
Revista em 23 de Maio de 2018
Aceite pelo editor em 4 de Dezembro de 2018
