Ângulo (medidas)

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2018) Ângulo (medidas), Rev. Ciência Elem., V6(4):075
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2018.075]

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Índice  [esconder]  1 Ângulos e rotações 2 Ângulos orientados 2.1 Noção de ângulo 2.2 Medida dos ângulos 3 Sistema sexagesimal 4 Sistema centesimal 5 Sistema circular 6 Passagem de um sistema de unidades para outro 7 Notas históricas 8 Referências

Ângulos e rotações

Quando um ponto $P$ se move sobre uma circunferência, de centro $O$, rodando no sentido positivo (anti-horário), partindo de uma certa posição inicial $Q$, quando ele regressa a $Q$, após descrever uma volta inteira, diz-se que o ponto $P$ (ou a semi-recta $OP$, se preferir) descreveu um ângulo (de rotação) (orientado) igual a $360º$.

 

 

Se o ponto descreve um quarto de volta, o ângulo (de rotação) será igual a $\displaystyle\frac{1}{4}\times 360º=90º$. Um outro exemplo, $300º$ representa o valor do ângulo correspondente à rotação positiva de P de $\displaystyle\frac{300}{360}= \displaystyle\frac{15}{18}$ de volta inteira.

Quando $P$ roda no sentido negativo (horário), os ângulos são negativos.

Não há qualquer razão matemática para que uma volta inteira corresponda a $360º$, ou, de outra forma, para que a unidade de medida seja o grau = $\displaystyle\frac{1}{360}$ de volta inteira. De facto a única razão é de carácter histórico - é assim desde a antiguidade clássica. Como veremos, existe uma unidade de medida mais apropriada do ponto de vista matemático - o radiano.

Mas o que significa um ângulo (de rotação) de $500º$? Como $5800º=360º+140º$, significa que o ponto P deu uma volta inteira, no sentido positivo, a que correspondem $360º$, e depois continuou a rodar descrevendo um ângulo (de rotação) correspondente à rotação positiva de $P$ de $\displaystyle\frac{140}{360}= \displaystyle\frac{7}{18}$ de volta inteira (veja a figura).

Podemos pois definir ângulos de rotação, ou mais simplesmente, ângulos de qualquer valor, racional ou irracional, positivo ou negativo, medidos em graus.

Ângulos orientados

Noção de ângulo

Uma semi-reta de origem $O$, pertencente a um dado plano, pode mover-se nesse plano rodando em torno de $O$ em dois sentidos: ou no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio que será o sentido positivo, ou no sentido oposto, sentido negativo. Quando a semi-reta partindo da posição $a$, roda em torno da origem $O$ acabando por ocupar a posição $b$, diz-se que descreveu o ângulo $\angle a,b$. À semi-reta $a$ chamamos lado origem e à semi-reta $b$ lado extremidade. O ponto $O$ é o vértice do ângulo. Assim, o ângulo é positivo ou negativo, conforme o sentido de rotação que leva o lado origem a ocupar a posição lado extremidade seja positivo ou negativo. Nestas condições, a ordem pela qual se consideram lados do ângulo não é indiferente tendo o ângulo um sentido (ângulo orientado). Quando a semirreta a descreve uma rotação em torno da origem O de tal forma que vem a ocupar a posição inicial, efetuando assim uma revolução completa num dado sentido, dizemos que essa semirreta descreveu o ângulo de um giro, ou mais simplesmente, um ângulo giro. E como nada impede que esse movimento de rotação continue (no sentido positivo ou negativo), concebem-se assim ângulos (positivos ou negativos) que podem exceder um ou mais ângulos giros. Portanto, um par ordenado (a,b) de duas semirretas com a mesma origem O corresponde a um ser geométrico múltiplo chamado ângulo trigonométrico, constituído por um número infinito de determinações, cada uma das quais se refere à amplitude e sentido da rotação que leva o lado origem a coincidir com o lado extremidade.

Medida dos ângulos

Se $A$ e $U$ forem duas grandezas (da mesma espécie contínua) e se $U$ for não nula, existe um e um só número real $\alpha$ tal que, $A=\alpha U$. A este número $\alpha$ chama-se a medida de $A$ relativamente a $U$. Determinar $\alpha$ é medir a grandeza $A$ tomando para unidade a grandeza $U$.

Considerando agora os ângulos orientados, podemos afirmar que dadas duas determinações $A$ e $U$, ($U$ não nulo), de dois ângulos, existe um e um só número real $m$ tal que, $A=m U$. O número $m$ representa assim a medida da determinação do ângulo $A$ relativamente à unidade $U$.

Fixada a unidade $U$ estabelece-se assim uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos ângulos orientados e conjunto dos números reais (medidas dos ângulos). Esta correspondência é tal que a relação de igualdade, a relação de grandeza e a adição de ângulos se traduz, respetivamente, na relação de igualdade, na relação de grandeza e na adição de números reais.

A escolha da unidade $U$ é arbitrária, mas habitualmente usa-se um dos três sistemas de unidades definidos em seguida.

Sistema sexagesimal

No sistema sexagesimal admite-se como unidade fundamental o grau. Um grau corresponde a $\displaystyle \frac{1}{90}$ do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.

Assim sendo, um ângulo reto mede $90º$ (90 graus) e um ângulo giro mede $360º$ (360 graus) pois $90\times4=360$.

Como submúltiplos do grau usam-se: O minuto sexagesimal $(1')$ corresponde a $\displaystyle \frac{1}{60}$ do grau, ou seja, 60 minutos sexagesimais são 1 grau. O segundo sexagesimal $(1' ')$ corresponde a $\displaystyle \frac{1}{60}$ do minuto e portanto $\displaystyle \frac{1}{3600}$ do grau, ou seja, 3600 segundos sexagesimais são 1 grau. O décimo do segundo, o centésimo do segundo etc.

Submúltiplos do grau Um grau Minutos 60 Segundos 3600 Décimos de segundo 36000 Centésimos do segundo 360000 $\dots$ $\dots$

Exemplo

Um ângulo composto de 30 graus, 12 minutos, 8 segundos e 2 centésimos que simbolicamente podemos representar por $30º$ $12'$ $8' '$ $,02$ tem uma medida em graus de $\displaystyle 30+\frac{12}{60}+\frac{8}{3600}+\frac{2}{360\times 100} \simeq 30,2023$.

Para indicar a medida deste ângulo usamos habitualmente a notação $30º$ $12'$ $8' '$ $,02$ para nos referirmos ao número anterior.

Sistema centesimal

No sistema centesimal admite-se como unidade fundamental o grado. Um grado corresponde a $\displaystyle \frac{1}{100}$ do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.

Assim sendo, um ângulo reto mede $100^{g}$ (100 grados) e um ângulo giro mede $400^{g}$ (400 grados) pois $100\times$4=400).

Como submúltiplos do grado usam-se: O minuto centesimal $(1^{‵})$ corresponde a $\displaystyle \frac{1}{100}$ do grau, ou seja, 100 minutos centesimais são 1 grado. O segundo centesimal $(1‶)$ corresponde a $\displaystyle \frac{1}{100}$ do minuto e portanto $\displaystyle \frac{1}{10000}$ do grado, ou seja, 10000 segundos centesimais são 1 grado. O décimo do segundo centesimal, o centésimo do segundo centesimal etc.

Submúltiplos do grado Um grado Minutos 100 Segundos 10000 Décimos de segundo centesimal 100000 Centésimos do segundo centesimal 1000000 $\dots$ $\dots$

Exemplo

Um ângulo composto de 20 grados, 8 minutos e 24 segundos que simbolicamente podemos representar por $20^{g}$ $8^{‵}$ $24‶$ tem uma medida em grados de $\displaystyle 20+\frac{8}{100}+\frac{24}{10000}=20,0824$.

Para indicar a medida deste ângulo no sistema centesimal usamos habitualmente a notação $20^{g}$ $8^{‵}$ $24‶$ para nos referirmos ao número anterior.

Sistema circular

No sistema circular a unidade de medida é o radiano. Como sabemos um radiano é a medida de um ângulo ao centro definido num círculo por um arco com o mesmo comprimento que o raio do círculo. Sabemos também que existe proporcionalidade direta entre a medida de um ângulo ao centro e o comprimento do arco correspondente. Considerando o ângulo da FIGURA 1 podemos então estabelecer que:

$$\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo giro}}=\frac{\mbox{comprimento do arco } AB}{\mbox{comprimento da circunferência}}$$

Como o comprimento do arco $AB$ é igual ao raio do círculo, resulta que

$$\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo giro}}=\frac{r}{2\pi r}=\frac{1}{2\pi}$$

Esta relação mostra que a medida de um ângulo giro é de $2\pi$ radianos. Estabelecendo a relação com os dois sistemas de unidades anteriores temos que:

$360º=2\pi \mbox{ radianos}$ e $400^{g}=2\pi \mbox{ radianos}$

Daqui resulta que,

$\displaystyle 1 \mbox{ radiano}={\left(\frac{360}{2\pi}\right)}^{\circ} \simeq \, 57º \,\, 17' \,\, 45' '$

$\displaystyle 1 \mbox{ radiano}=\left(\frac{400}{2\pi}\right)^{g} \simeq \, 63,6620^g$

Passagem de um sistema de unidades para outro

Consideremos um ângulo $\angle a,b$ qualquer e designemos por $s$, $c$ e $d$ as suas medidas nos sistemas sexagesinal, centesimal e circular, respetivamente. Necessitamos de estabelecer uma relação destas medidas com medidas já conhecidas, como por exemplo, a medida de um ângulo raso, que é de $180º$ no sistema sexagesimal, de $200^{g}$ no centesimal e de $\pi \mbox{ rad}$ no circular. Como a razão entre grandezas da mesma espécie é o quociente das suas medidas relativamente a uma unidade comum, resulta que a razão entre o ângulo $\angle a,b$ e o ângulo raso pode ser expressa pelos números $\displaystyle \frac{s}{180}$, $\displaystyle \frac{c}{200}$ ou por $\displaystyle \frac{d}{\pi}$.

Como os três números anteriores são iguais então temos que:

$$\quad \frac{s}{180}=\frac{c}{200}=\frac{d}{\pi} \quad$$

Esta relação permite-nos, conhecendo a medida de um ângulo num dos sistemas, determinar a medida desse mesmo ângulo num dos outros dois sistemas de unidades.

Exemplo

Cálculo das medidas do ângulo $28º$ $48'$ nos sistemas centesimal e circular.

Usando a relação anterior temos que $s=28,8$ pois $48'=0,8º$,então

$\displaystyle \frac{28,8}{180}=\frac{c}{200} \, \Leftrightarrow \, c=\frac{200 \times 28,8}{180}=32$

Da mesma forma determinamos a medida do ângulo no sistema circular:

$\displaystyle \frac{28,8}{180}=\frac{d}{\pi} \, \Leftrightarrow \, d=\frac{\pi \times 28,8}{180}=\frac{28,8}{180}\pi=\frac{4}{25}\pi \simeq 0,503$

Logo, o ângulo $28º$ $48'$ mede $32^{g}$ no sistema centesimal e aproximadamente $0,503 \mbox{ rad}$ no sistema circular.

Notas históricas

Dos três sistemas de unidade descritos anteriormente é o sistema circular que parece suscitar maior interesse teórico pela quantidade de assuntos matemáticos em que intervém. Já os outros dois sistemas, sistema sexagesimal e sistema centesimal, são mais utilizados nas aplicações práticas mais elementares.

O sistema sexagesimal será, dos três sistemas de unidades, o mais antigo, como podemos ler na Enciclopédia das Matemáticas Elementares (Berzolari, Milão, 1937, Vol.II p.545), «O sistema sexagesimal é de origem remotíssima. Os Babilónios dividiam a circunferência em 360 partes iguais e esta subdivisão transmitiu-se aos Gregos e Árabes e chegou até nós».

O sistema centesimal parece datar do séc.XV. O notável geómetra H.Briggs (1556-1630) utilizou a subdivisão centesimal na construção duma tábua trigonométrica. Mais tarde, o matemático francês J.L.Lagrange (1736-1813) mostrou-se defensor da substituição do sistema sexagesimal pelo sistema centesimal de unidades de medida de ângulo. Apesar do sistema centesimal ser mais cómodo a nível de cálculo, uma vez que se usam medidas expressas em números decimais, ainda hoje podemos verificar que o sistema mais utilizado e mais comum é o sistema sexagesimal.

Referências

1. J. Jorge G. Calado (1974) "Compêndio de Trigonometria" 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.

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Recursos relacionados disponíveis na Casa das Ciências:

1. Construção de Triângulos;
   
2. Ângulos e Triângulos.
   

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Criada em 17 de Fevereiro de 2013
Revista em 23 de Maio de 2018
Aceite pelo editor em 4 de Dezembro de 2018