Equações da reta

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Equação cartesiana

Considerando dois vetores $\vec u$ e $\vec x$, com $\vec u \neq 0$, a equação em $\vec x$, $\vec u \cdot \vec x =0$ representa o conjunto de todos os vetores $\vec x$ que são ortogonais a $\vec u$. Temos então dois casos:

• No plano, a equação $\vec u \cdot \vec x =0$ representa a reta vetorial (isto é, que passa na origem) ortogonal a $\vec u$. Se $\vec u =(a,b)$ e $\vec x =(x,y)$, $\vec u \cdot \vec x = (a,b) \cdot (x,y)= ax +by$, e então a equação escreve-se da forma,

$\qquad$e diz-se a equação cartesiana da reta referida.

• No espaço, a equação $\vec u \cdot \vec x =0$ representa o plano vetorial (isto é, que passa na origem) ortogonal a $\vec u$. Se $\vec u =(a,b,c)$ e $\vec x =(x,y,z)$, $\vec u \cdot \vec x = (a,b,c) \cdot (x,y,z)= ax+by+cz$, e então a equação escreve-se da forma,

$\qquad$e diz-se a equação cartesiana do plano referido.

Exemplos

• $2x-y=0$ é a equação da reta vetorial ortogonal ao vetor $\vec u =(2,-1)$.
• $-x+3y+5=0$ é a equação do plano vetorial ortogonal ao vetor $\vec u =(-1,3,5)$.
• $3x-4z=0$ (em $\mathbb{R}^3$) é a equação da reta vetorial ortogonal ao vetor $\vec u =(3,0,-4)$. Esta reta está contida no plano $y=0$, ou seja no plano $xOz$.

Equação vetorial

Considerando a mesma reta, $\vec u \cdot \vec x =0$, vejamos que o vetor $\vec v=(-b,a)$ pertence à reta uma vez que $\vec u \cdot \vec v=(a,b) \cdot (-b,a)= -ab+ba=0$. Portanto a reta é também o conjunto de todos os vetores $\vec x$ que são múltiplos escalares do vetor $\vec v$. Isto é,

A equação $\vec x=t \vec v$ diz-se equação vetorial da reta referida.

Equações paramétricas