Produto escalar
Referência : Não citável Esta página ainda não foi aprovada.
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: Colocar nome do editor
Índice[esconder] |
Produto escalar de dois vetores
O produto escalar (euclidiano) de dois vetores →u=(u1,u2) e →v=(v1,v2) define-se por:
| →u⋅→v=(u1,u2).(v1,v2)=u1v1+u2v2 |
|---|
Da mesma forma se define o produto escalar de dois vetores →u=(u1,u2,u3) e →v=(v1,v2,v3) no espaço:
| →u⋅→v=(u1,u2,u3).(v1,v2,v3)=u1v1+u2v2+u3v3 |
|---|
Pela desigualdade |→u⋅→v|≤‖→u‖‖→v‖, e uma vez que os dois vetores são não nulos, deduzimos que |→u⋅→v|‖→u‖‖→v‖≤1, isto é, −1≤→u⋅→v‖→u‖‖→v‖≤1
Portanto existe um único valor θ∈[0,π] tal que cosθ=→u⋅→v‖→u‖‖→v‖, já que a função cosseno restrita ao intervalo [0,π] é uma função bijetiva sobre o intervalo [−1,1]. A este valor θ chama-se o ângulo convexo entre dois vetores não nulos →u e →v. Considerando θ=(→u^→v)∈[0,π], esse ângulo define-se então através de:
cos(→u^→v)=→u⋅→v‖→u‖‖→v‖
Daqui resulta outra expressão que nos permite obter o produto escalar entre dois vetores,
| →u⋅→v=‖→u‖‖→v‖cos(→u^→v) |
|---|
Considerando →u e →v dois vetores, do plano ou do espaço, o produto escalar de →u e →v é o número representado por →u⋅→v e definido como:
| →u⋅→v=‖→u‖.‖→v‖.cos(→u^→v) |
|---|
Nas coordenadas do vetores
Podemos também obter o produto escalar entre dois vetores através das coordenadas dos vetores. Vamos então considerar →u e →v dois vetores cujas coordenadas são, →u=(u1,u2) e →v=(v1,v2), no plano, ou →u=(u1,u2,u3) e →v=(v1,v2,v3) no espaço.
No plano esse produto escalar é dado pela soma do produto das abcissas com o produto das ordenadas da seguinte forma:
| →u⋅→v=(u1,u2).(v1,v2)=u1.v1+u2.v2 |
|---|
De forma semelhante podemos obter o prduto escalar através das coordenadas dos vetores no espaço:
| →u⋅→v=(u1,u2,u3).(v1,v2,v3)=u1.v1+u2.v2+u3.v3 |
|---|
Propriedades
Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores, →u e →v não nulos:
[1] Se →u e →v são dois vetores colineares podemos ter dois casos:
- →u e →v têm o mesmo sentido então →u⋅→v=‖→u‖.‖→v‖ pois
→u e →v colineares com o mesmo sentido ⇒→u^→v=0º⇒cos(→u^→v)=1⇒→u⋅→v=‖→u‖.‖→v‖.
- →u e →v têm sentido contrário então →u⋅→v=−‖→u‖.‖→v‖ pois
→u e →v colineares com o sentidos contrários ⇒→u^→v=180º⇒cos(→u^→v)=−1⇒→u⋅→v=−‖→u‖.‖→v‖.
[2] →u⋅→u=‖→u‖2 o que se deduz diretamente da propriedade anterior considerando →u e →u dois vetores colineares com o mesmo sentido.
[3] →u⋅→v⟺→u⊥→v.
Neste caso temos de mostrar cada uma das implicações anteriores.
→u⋅→v=0⇒cos(→u^→v)=0 mas cos(→u^→v)=0 e 0≤→u^→v≤180º⇒→u^→v=90º ou seja, →u e →v são perpendiculares.
Acabamos então de provar que se o produto escalar entre dois vetores for igual a zero então esses vetores são perpendiculares.
Já se →u⊥→v⇒→u^→v=90º⇒(cos(→u^→v)=0⇒→u⋅→v=0.
Provamos então que se dois vetores são perpendiculares então o produto escalar entre esses dois vetores é igual a zero.
Provadas as duas implicações provamos que →u⋅→v⟺→u⊥→v.
[4] Se →u⋅→v<0 então o ângulo formado por →u e →v é um ângulo obtuso.
Para provar esta propriedade basta verificar que se →u⋅→v<0 então cos(→u^→v)<0 o que implica que →u^→v é um ângulo obtuso (de amplitude superior a 90º e inferior a 180º).
[5] Se →u⋅→v>0 então o ângulo formado por →u e →v é ângulo agudo.
Verifica-se que se →u⋅→v>0 então cos(→u^→v)>0 o que implica que →u^→v é um ângulo agudo (de amplitude superior a 0º e inferior a 90º).
[6] cos(→u^→v)=→u⋅→v‖→u‖.‖→v‖.
Esta propriedade sai diretamente da definição de produto escalar entre dois vetores.
[7] →u⋅→v=→v⋅→u.
[8] (k⋅→u)⋅→v=k.(→u⋅→v) para todo o k∈R.
[9] Propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores,→u⋅(→v+→w)=→u⋅→v+→u⋅→w.
