Produto escalar

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Produto escalar de dois vetores

O produto escalar (euclidiano) de dois vetores $\vec u = (u_1,u_2)$ e $\vec v = (v_1,v_2)$ define-se por:

$$\vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2).(v_1,v_2)=u_1 . v_1+u_2 . v_2$$

Da mesma forma se define o produto escalar de dois vetores $\vec u = (u_1,u_2,u_3)$ e $\vec v = (v_1,v_2,v_3)$ no espaço:

$$\vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2,u_3).(v_1,v_2,v_3)=u_1 . v_1+u_2 . v_2+u_3 . v_3$$

Considerando $\vec u$ e $\vec v$ dois vetores, do plano ou do espaço, o produto escalar de $\vec u$ e $\vec v$ é o número representado por $\vec u \cdot \vec v$ e definido como:

$$\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|.\|\vec v\|.\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)$$

Nas coordenadas do vetores

Podemos também obter o produto escalar entre dois vetores através das coordenadas dos vetores. Vamos então considerar $\vec u$ e $\vec v$ dois vetores cujas coordenadas são, $\vec u = (u_1,u_2)$ e $\vec v = (v_1,v_2)$, no plano, ou $\vec u = (u_1,u_2,u_3)$ e $\vec v = (v_1,v_2,v_3)$ no espaço.

No plano esse produto escalar é dado pela soma do produto das abcissas com o produto das ordenadas da seguinte forma:

$$\vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2).(v_1,v_2)=u_1.v_1+u_2.v_2$$

De forma semelhante podemos obter o prduto escalar através das coordenadas dos vetores no espaço:

$$\vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2,u_3).(v_1,v_2,v_3)=u_1.v_1+u_2.v_2+u_3.v_3$$

Propriedades

Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores, $\vec u$ e $\vec v$ não nulos:

$\mathbf{[1]}\,$ Se $\vec u$ e $\vec v$ são dois vetores colineares podemos ter dois casos:

• $\vec u$ e $\vec v$ têm o mesmo sentido então $\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|$ pois

$\quad \quad \vec u$ e $\vec v$ colineares com o mesmo sentido $\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 0º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|$.

• $\vec u$ e $\vec v$ têm sentido contrário então $\vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|$ pois

$\quad \quad \vec u$ e $\vec v$ colineares com o sentidos contrários $\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 180º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=-1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|$.

$\mathbf{[2]}\,$ $\vec u \cdot \vec u=\|\vec u\|^2$ o que se deduz diretamente da propriedade anterior considerando $\vec u$ e $\vec u$ dois vetores colineares com o mesmo sentido.

$\mathbf{[3]}\,$ $\vec u \cdot \vec v \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v$.

$\quad \quad$ Neste caso temos de mostrar cada uma das implicações anteriores.

$\quad \quad \vec u \cdot \vec v=0 \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0$ mas $\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\,$ e $\,0\le\vec u \mbox{^} \vec v\le180º \, \Rightarrow \,\vec u \mbox{^} \vec v=90º\,$ ou seja, $\vec u$ e $\vec v$ são perpendiculares.

$\quad\quad$Acabamos então de provar que se o produto escalar entre dois vetores for igual a zero então esses vetores são perpendiculares.

$\quad \quad$Já se $\vec u \perp \vec v \, \Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v=90º \, \Rightarrow \, (\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v =0$.

$\quad\quad$Provamos então que se dois vetores são perpendiculares então o produto escalar entre esses dois vetores é igual a zero.

$\quad\quad$Provadas as duas implicações provamos que $\vec u \cdot \vec v \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v$.

$\mathbf{[4]}\,$ Se $\vec u \cdot \vec v < 0$ então o ângulo formado por $\vec u$ e $\vec v$ é um ângulo obtuso.

$\quad\quad$ Para provar esta propriedade basta verificar que se $\vec u \cdot \vec v < 0\,$ então $\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)<0$ o que implica que $\vec u \mbox{^} \vec v$ é um ângulo obtuso (de amplitude superior a $90º$ e inferior a $180º$).

$\mathbf{[5]}\,$ Se $\vec u \cdot \vec v > 0$ então o ângulo formado por $\vec u$ e $\vec v$ é ângulo agudo.

$\quad\quad$ Verifica-se que se $\vec u \cdot \vec v > 0\,$ então $\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)>0$ o que implica que $\vec u \mbox{^} \vec v$ é um ângulo agudo (de amplitude superior a $0º$ e inferior a $90º$).

$\mathbf{[6]}\,$ $\displaystyle\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|.\|\vec v\|}$.

$\quad\quad$ Esta propriedade sai diretamente da definição de produto escalar entre dois vetores.

$\mathbf{[7]}\,$ $\vec u \cdot \vec v=\vec v \cdot \vec u$.

$\mathbf{[8]}\,$ $(k \cdot\vec u)\cdot \vec v=k.(\vec u \cdot \vec v)$ para todo o $k \in \mathbb{R}$.

$\mathbf{[9]}\,$ Propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores,$\vec u \cdot (\vec v+\vec w)=\vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w$.