Produto escalar

Da WikiCiências
Share/Save/Bookmark
Revisão das 03h40min de 15 de janeiro de 2013 por Jntavar e Angela (discussão | contribs)

Ir para: navegação, pesquisa

Referência : Não citável Esta página ainda não foi aprovada.
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: Colocar nome do editor



Produto escalar de dois vetores

Considerando u e v dois vetores, do plano ou do espaço, o produto escalar de u e v é o número representado por uv e definido como:

uv=u.v.cos(u^v)


Nas coordenadas do vetores

Podemos também obter o produto escalar entre dois vetores através das coordenadas dos vetores. Vamos então considerar u e v dois vetores cujas coordenadas são, u=(u1,u2) e v=(v1,v2), no plano, ou u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3) no espaço.

No plano esse produto escalar é dado pela soma do produto das abcissas com o produto das ordenadas da seguinte forma:

uv=(u1,u2).(v1,v2)=u1.v1+u2.v2

De forma semelhante podemos obter o prduto escalar através das coordenadas dos vetores no espaço:

uv=(u1,u2,u3).(v1,v2,v3)=u1.v1+u2.v2+u3.v3

Propriedades

Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores, u e vecv não nulos:


[1] Se u e v são dois vetores colineares podemos ter dois casos:

  • u e v têm o mesmo sentido então uv=u.v pois

u e v colineares com o mesmo sentido u^v=0ºcos(u^v)=1uv=u.v.

  • u e v têm sentido contrário então uv=u.v pois

u e v colineares com o sentidos contrários u^v=180ºcos(u^v)=1uv=u.v.


[2] uu=u2 o que se deduz diretamente da propriedade anterior considerando vecu e vecu dois vetores colineares com o mesmo sentido.

[3] uvuv.

Neste caso temos de mostrar cada uma das implicações anteriores.

uv=0cos(u^v)=0 mas cos(u^v)=0 e 0u^v180ºu^v=90º ou seja, u e v são perpendiculares. Acabamos então de provar que se o produto escalar entre dois vetores for igual a zero então esse vetores são perpendiculares.

Já se uvu^v=90º(cos(u^v)=0uv=0. Provamos então que u>se</u> dois vetores são perpendiculares então o produto escalar entre esses dois vetores é igual a zero.

Provadas as duas implicações provamos que uvuv.