Produto escalar

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Produto escalar de dois vetores

Considerando $\vec u$ e $\vec v$ dois vetores, do plano ou do espaço, o produto escalar de $\vec u$ e $\vec v$ é o número representado por $\vec u \cdot \vec v$ e definido como:

$$\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|.\|\vec v\|.\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)$$

Nas coordenadas do vetores

Podemos também obter o produto escalar entre dois vetores através das coordenadas dos vetores. Vamos então considerar $\vec u$ e $\vec v$ dois vetores cujas coordenadas são, $\vec u = (u_1,u_2)$ e $\vec v = (v_1,v_2)$, no plano, ou $\vec u = (u_1,u_2,u_3)$ e $\vec v = (v_1,v_2,v_3)$ no espaço.

No plano esse produto escalar é dado pela soma do produto das abcissas com o produto das ordenadas da seguinte forma:

$$\vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2).(v_1,v_2)=u_1.v_1+u_2.v_2$$

De forma semelhante podemos obter o prduto escalar através das coordenadas dos vetores no espaço:

$$\vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2,u_3).(v_1,v_2,v_3)=u_1.v_1+u_2.v_2+u_3.v_3$$

Propriedades

Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores:

$\mathbf{[1]-}$ Se $\vec u$ e $\vec v$ são dois vetores colineares podemos ter dois casos:

• $\vec u$ e $\vec v$ têm o mesmo sentido então $\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|$ pois

$\quad \quad \vec u$ e $\vec v$ colineares com o mesmo sentido $\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 0º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|$.

• $\vec u$ e $\vec v$ têm sentido contrário então $\vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|$ pois

$\quad \quad \vec u$ e $\vec v$ colineares com o sentidos contrários $\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 180º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=-1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|$.