Produto escalar

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Produto escalar de dois vetores

Considerando \(\vec u\) e \(\vec v\) dois vetores, do plano ou do espaço, o produto escalar de \(\vec u\) e \(\vec v\) é o número representado por \(\vec u \cdot \vec v\) e definido como:

\[\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|.\|\vec v\|.\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)\]

Nas coordenadas do vetores

Podemos também obter o produto escalar entre dois vetores através das coordenadas dos vetores. Vamos então considerar \(\vec u\) e \(\vec v\) dois vetores cujas coordenadas são, \(\vec u = (u_1,u_2)\) e \(\vec v = (v_1,v_2)\), no plano, ou \(\vec u = (u_1,u_2,u_3)\) e \(\vec v = (v_1,v_2,v_3)\) no espaço.

No plano esse produto escalar é dado pela soma do produto das abcissas com o produto das ordenadas da seguinte forma:

\[\vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2).(v_1,v_2)=u_1.v_1+u_2.v_2\]

De forma semelhante podemos obter o prduto escalar através das coordenadas dos vetores no espaço:

\[\vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2,u_3).(v_1,v_2,v_3)=u_1.v_1+u_2.v_2+u_3.v_3\]