Quantificadores universais

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Os quantificadores universais são as expressões:

• todo(s), ou para todo(s) que se representa pelo símbolo $\forall$;

• existe, ou existe pelo menos um que se representa pelo símbolo $\exists$.

Exemplos

Vamos ver o seu significado nas seguintes expressões:

$(\forall n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k$ $\quad$ que se lê $\quad$ para todo o $n$ pertencente a $\mathbb{Z}$ e existe um $k$ pertencente a $\mathbb{Z}$ tal que $n=2k$

Esta proposição diz que todo o número inteiro é par, o que é evidente que é falso.

$(\exists n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k$ $\quad$ que se lê $\quad$ existe $n$ pertencente a $\mathbb{Z}$ e existe um $k$ pertencente a $\mathbb{Z}$ tal que $n=2k$

Esta proposição diz que existe um número $n$ par, o que verdadeiro!

Como negar proposições com os quantificadores?

Vejamos exemplos simples do quotidiano:

Em matemática podemos ter por exemplo:

Afirmação: $(\forall x \in \mathbb{R}: f(x)>5)$ $\quad$ Negação: $(\exists x \in \mathbb{R}: f(x)\le5)$