Quantificadores universais

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Os quantificadores universais são as expressões:

• todo(s), ou para todo(s) que se representa pelo símbolo \(\forall\);

• existe, ou existe pelo menos um que se representa pelo símbolo \(\exists\).

Exemplos

Vamos ver o seu significado nas seguintes expressões:

\((\forall n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k\) \(\quad\) que se lê \(\quad\) para todo o \(n\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) e existe um \(k\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) tal que \(n=2k\)

Esta proposição diz que todo o número inteiro é par, o que é evidente que é falso.

\((\exists n \in \mathbb{Z})(\exists k \in \mathbb{Z}): n=2k\) \(\quad\) que se lê \(\quad\) existe \(n\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) e existe um \(k\) pertencente a \(\mathbb{Z}\) tal que \(n=2k\)

Esta proposição diz que existe um número \(n\) par, o que verdadeiro!

Como negar proposições com os quantificadores?

Vejamos exemplos simples do quotidiano:

Afirmação: Todas as maças são verdes \(\quad\) Negação: Existe pelo menos uma maça verde

Afirmação: Existe uma folha seca \(\quad\) Negação: Todos as folhas estão molhadas

Em matemática podemos ter por exemplo:

Afirmação: \((\forall x \in \mathbb{R}: f(x)>5)\) \(\quad\) Negação: \((\exists x \in \mathbb{R}: f(x)\le5)\)