Equações da reta
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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Equação cartesiana
Considerando dois vetores \(\vec u\) e \(\vec x\), com \(\vec u \neq 0\), a equação em \(\vec x\), \(\vec u \cdot \vec x =0\) representa o conjunto de todos os vetores \(\vec x\) que são ortogonais a \(\vec u\). Temos então dois casos:
- No plano, a equação \(\vec u \cdot \vec x =0\) representa a reta vetorial (isto é, que passa na origem) ortogonal a \(\vec u\). Se \(\vec u =(a,b)\) e \(\vec x =(x,y)\), \(\vec u \cdot \vec x = (a,b) \cdot (x,y)= ax +by\), e então a equação escreve-se da forma,
| \[ax + by=0\] |
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\(\qquad\)e diz-se a equação cartesiana da reta referida.
- No espaço, a equação \(\vec u \cdot \vec x =0\) representa o plano vetorial (isto é, que passa na origem) ortogonal a \(\vec u\). Se \(\vec u =(a,b,c)\) e \(\vec x =(x,y,z)\), \(\vec u \cdot \vec x = (a,b,c) \cdot (x,y,z)= ax+by+cz\), e então a equação escreve-se da forma,
| \[ax + by + cz=0\] |
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\(\qquad\)e diz-se a equação cartesiana do plano referido.
Exemplos
- \(2x-y=0\) é a equação da reta vetorial ortogonal ao vetor \(\vec u =(2,-1)\).
- \(-x+3y+5=0\) é a equação do plano vetorial ortogonal ao vetor \(\vec u =(-1,3,5)\).
- \(3x-4z=0\) (em \(\mathbb{R}^3\)) é a equação da reta vetorial ortogonal ao vetor \(\vec u =(3,0,-4)\). Esta reta está contida no plano \(y=0\), ou seja no plano \(xOz\).
Equação vetorial
Considerando a mesma reta, \(\vec u \cdot \vec x =0\), vejamos que o vetor \(\vec v=(-b,a)\) pertence à reta uma vez que \(\vec u \cdot \vec v=(a,b) \cdot (-b,a)= -ab+ba=0\). Portanto a reta é também o conjunto de todos os vetores \(\vec x\) que são múltiplos escalares do vetor \(\vec v\). Isto é,
| \[ax+by=0 \, \Longleftrightarrow\] | \[\,\{\vec x \in \mathbb{R}^2: \vec x=t(-b,a), \quad t \in \mathbb{R}\}\] |
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A equação \(\vec x=t \vec v\) diz-se equação vetorial da reta referida.
Equações paramétricas
Se \(\vec x =(x,y)\), como \(\vec v=(-b,a)\), então \(\vec x=t \vec v \, \Leftrightarrow \, (x,y)=t(-b,a) \, \Leftrightarrow \, x=-tb \wedge y=ta\), sendo que assim a equação vetorial é equivalente às duas equações seguintes:
| \[ \left\{\begin{array}{ll} x=-tb & \\ & , t \in \mathbb{R} \\ y=ta & \end{array} \right.\] |
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Que se dizem equações paramétricas da reta referida. Quando o "tempo" \(t\) varia, elas representam o movimento de um ponto (partícula) que se desloca sobre a reta com movimento uniforme de vetor-velocidade \(\vec v=(-b,a)\) e velocidade (escalar) \(v=\|\vec v\|=\sqrt{a^2+b^2}\).
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