Equações da reta

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Equação cartesiana

Considerando dois vetores \(\vec u\) e \(\vec x\), com \(\vec u \neq 0\), a equação em \(\vec x\), \(\vec u \cdot \vec x =0\) representa o conjunto de todos os vetores \(\vec x\) que são ortogonais a \(\vec u\). Temos então dois casos:

• No plano, a equação \(\vec u \cdot \vec x =0\) representa a reta vetorial (isto é, que passa na origem) ortogonal a \(\vec u\). Se \(\vec u =(a,b)\) e \(\vec x =(x,y)\), \(\vec u \cdot \vec x = (a,b) \cdot (x,y)= ax +by\), e então a equação escreve-se da forma,

\[ax + by=0\]

\(\qquad\)e diz-se a equação cartesiana da reta referida.

• No espaço, a equação \(\vec u \cdot \vec x =0\) representa o plano vetorial (isto é, que passa na origem) ortogonal a \(\vec u\). Se \(\vec u =(a,b,c)\) e \(\vec x =(x,y,z)\), \(\vec u \cdot \vec x = (a,b,c) \cdot (x,y,z)= ax+by+cz\), e então a equação escreve-se da forma,

\[ax + by + cz=0\]

\(\qquad\)e diz-se a equação cartesiana do plano referido.

Exemplos

• \(2x-y=0\) é a equação da reta vetorial ortogonal ao vetor \(\vec u =(2,-1)\).
• \(-x+3y+5=0\) é a equação do plano vetorial ortogonal ao vetor \(\vec u =(-1,3,5)\).
• \(3x-4z=0\) \((em \mathbb{R}^3)\) é a equação da reta vetorial ortogonal ao vetor \(vec u =(3,0,-4)\). Esta reta está contida no plano \(y=0\), ou seja no plano \(xOz\).