Triângulo

Referência : Tavares, J., (2013) Triângulo, Rev. Ciência Elem., V1(1):027
Autores: João Nuno Tavares
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2013.027]

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Triângulo. Do latim triangulum, de tri, "três", e angulus, "ângulo".

Triângulo no plano

► Um triângulo é um polígono com três lados. É pois a região do plano limitada por três segmentos de reta \(a\),\(b\) e \(c\) (os seus lados), contíguos dois a dois nas suas extremidades \(A\),\(B\) e \(C\) (os vértices).

Figura 1: Triângulo. Elementos principais.

► Um triângulo \(ABC\) possui seis elementos principais (ver figura 1)

▹ lados \(a\),\(b\) e \(c\)

▹ 3 vértices \(A\),\(B\) e \(C\)

\(a\) diz-se o lado oposto ao vértice \(A\), \(b\) o lado oposto ao vértice \(B\) e \(c\) o lado oposto ao vértice \(C\). Os ângulos internos, ou as suas medidas, são designadas habitualmente pelas letras maiúsculas \(A\),\(B\),\(C\), afetas aos respetivos vértices (figura 1).

A soma dos ângulos internos é igual a 180º.

Um dos resultados básicos é o seguinte "A soma dos ângulos internos de um triângulo plano é igual a 180º". A demostração pode ser vista no applet seguinte

Figura 2: Elementos secundários. Alturas e ortocentro.

► Classificação de triângulos

Os triângulos podem ser classificados quanto aos seus lados e quanto aos seus ângulos.

Quanto aos seus lados um triângulo classificam-se em:

	Triângulo equilátero: tem os seus três lados com o mesmo comprimento;
	Triângulo isósceles: tem dois lados com o mesmo comprimento;
	Triângulo escaleno: tem todos os lados com comprimento desigual.

Quanto os seus ângulos um triângulo classificam-se em:

	Triângulo acutângulo: tem os três ângulos internos agudos;
	Triângulo retângulo: um dos três ângulos do triângulo é um ângulo reto;
	Triângulo obtusângulo: um dos três ângulos do triângulo é um ângulo obtuso.

► Um triângulo \(ABC\) possui vários elementos secundários (ver figura 2)

▹ 3 alturas. Uma altura é a reta perpendicular baixada de um vértice para o lado oposto.

Facto notável: as 3 alturas intersetam-se num único ponto a que se chama o ortocentro do triângulo.

Por altura também se entende o comprimento do segmento de reta baixado de um vértice para o lado oposto (figura 2). Este conceito é útil quando se discutem questões métricas num triângulo. O contexto tornará claro a que nos referimos.

▹ 3 medianas. Uma mediana é a reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

Facto notável: as 3 medianas intersetam-se num único ponto a que se chama o baricentro ou centro de gravidade do triângulo.

Figura 2: Elementos secundários. Medianas e baricentro.

▹ 3 bissetrizes - as bissetrizes dos seus ângulos internos.

Facto notável: as 3 bissetrizes intersetam-se num único ponto a que se chama o incentro do triângulo. O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo (tangente a cada um dos lados).

Figura 3. Bissectrizes, incentro e circunferência inscrita.

▹ 3 mediatrizes - as mediatrizes dos seus lados, isto é, as rectas perpendiculares a cada um desses lados e que passam pelos respetivos pontos médios.

Facto notável: as 3 mediatrizes intersetam-se num único ponto a que se chama o circuncentro do triângulo. O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita no triângulo (que passa pelos 3 vértices).

Figura 2c. Mediatrizes, circuncentro e circunferência circunscrita.

► A reta de Euler. Um facto extraordinário.

O ortocento, baricentro e circuncentro de um triângulo, que se definiram anteriormente, passam todos por uma mesma reta a que se chama a reta de Euler (figura 3). Em geral o incentro não pertence à reta de Euler!

Reta de Euler

Teorema de Pitágoras

► Teorema de Pitágoras Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:

\[a^2=b^2+c^2\]

Teorema de Pitágoras. Demonstração de Euclides (300 AC)

Existem dezenas de demonstrações do Teorema de Pitágoras. Em 1940, num livro de Elisa Loomis, intitulado The Pythagorean Proposition, incluem-se 367 provas diferentes!

No applet ilustra-se a demonstração de Euclides:

1. Os triângulos \(ABF\) e \(AEC\) são "iguais" (isto é, são isométricos). De facto, \(AE=AB\), \(AF=AC\) e \(\angle(BAF)=\angle(CAE)\).
2. Para calcular a área do triângulo \(ABF\), retângulo em \(C\), Euclides faz intervir a base \(AF\) e a altura.

Outros triângulos

Como vimos, um dos resultados básicos para triângulos no plano (Euclideano) é o seguinte "A soma dos ângulos internos de um triângulo plano é igual a 180º".

É possível imaginar outras geometrias onde este resultado é falso.

Por exemplo, imaginemos uma geometria na superfície de uma esfera onde as Retas são os círculos máximos,isto é, as circunferências obtidas intersetando a esfera com um plano que passa no seu centro.

Nesta geometria esférica, a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico é superior a 180º!

Um outro exemplo, imaginemos uma geometria no interior de um disco plano \(D\), mas em que as Retas são as partes em \(D\) das circunferências, ou das retas usuais, ortogonais à circunferência do bordo de \(D\).

Nesta geometria, dita hiperbólica, a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico é inferior a 180º!

Referências

1. AMORIM, D. P. - Compêndio de Geometria, Volume 1 - Classes 1ª, 2ª e 3ª, 9ª Edição, Biblioteca Básica de Textos Didácticos de Matemática, SPM, Depósito legal 286438/04.

2. BARUK, S. (1992) - Dicionário de Matemática Elementar, Volume 2, Edições Afrontamento, ISBN: 972-36-0767-0, Depósito legal 227493/05.

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Criada em 17 de Outubro de 2012
Revista em 22 de Abril de 2013
Aceite pelo editor em 03 de Julho de 2013