Produto escalar
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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Produto escalar de dois vetores
O produto escalar (euclidiano) de dois vetores \(\vec u = (u_1,u_2)\) e \(\vec v = (v_1,v_2)\) define-se por:
| \[\vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2).(v_1,v_2)=u_1 . v_1+u_2 . v_2\] |
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Da mesma forma se define o produto escalar de dois vetores \(\vec u = (u_1,u_2,u_3)\) e \(\vec v = (v_1,v_2,v_3)\) no espaço:
| \[\vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2,u_3).(v_1,v_2,v_3)=u_1 . v_1+u_2 . v_2+u_3 . v_3\] |
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Considerando \(\vec u\) e \(\vec v\) dois vetores, do plano ou do espaço, o produto escalar de \(\vec u\) e \(\vec v\) é o número representado por \(\vec u \cdot \vec v\) e definido como:
| \[\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|.\|\vec v\|.\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)\] |
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Nas coordenadas do vetores
Podemos também obter o produto escalar entre dois vetores através das coordenadas dos vetores. Vamos então considerar \(\vec u\) e \(\vec v\) dois vetores cujas coordenadas são, \(\vec u = (u_1,u_2)\) e \(\vec v = (v_1,v_2)\), no plano, ou \(\vec u = (u_1,u_2,u_3)\) e \(\vec v = (v_1,v_2,v_3)\) no espaço.
No plano esse produto escalar é dado pela soma do produto das abcissas com o produto das ordenadas da seguinte forma:
| \[\vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2).(v_1,v_2)=u_1.v_1+u_2.v_2\] |
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De forma semelhante podemos obter o prduto escalar através das coordenadas dos vetores no espaço:
| \[\vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2,u_3).(v_1,v_2,v_3)=u_1.v_1+u_2.v_2+u_3.v_3\] |
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Propriedades
Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores, \(\vec u \) e \(\vec v\) não nulos:
\(\mathbf{[1]}\,\) Se \(\vec u\) e \(\vec v\) são dois vetores colineares podemos ter dois casos:
- \(\vec u\) e \(\vec v\) têm o mesmo sentido então \(\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|\) pois
\(\quad \quad \vec u\) e \(\vec v\) colineares com o mesmo sentido \(\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 0º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|\).
- \(\vec u\) e \(\vec v\) têm sentido contrário então \(\vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|\) pois
\(\quad \quad \vec u\) e \(\vec v\) colineares com o sentidos contrários \(\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 180º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=-1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|\).
\(\mathbf{[2]}\,\) \(\vec u \cdot \vec u=\|\vec u\|^2\) o que se deduz diretamente da propriedade anterior considerando \(\vec u\) e \(\vec u\) dois vetores colineares com o mesmo sentido.
\(\mathbf{[3]}\,\) \(\vec u \cdot \vec v \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v\).
\(\quad \quad\) Neste caso temos de mostrar cada uma das implicações anteriores.
\(\quad \quad \vec u \cdot \vec v=0 \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\) mas \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\,\) e \(\,0\le\vec u \mbox{^} \vec v\le180º \, \Rightarrow \,\vec u \mbox{^} \vec v=90º\, \) ou seja, \(\vec u\) e \(\vec v\) são perpendiculares.
\(\quad\quad \)Acabamos então de provar que se o produto escalar entre dois vetores for igual a zero então esses vetores são perpendiculares.
\(\quad \quad\)Já se \(\vec u \perp \vec v \, \Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v=90º \, \Rightarrow \, (\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v =0\).
\(\quad\quad \)Provamos então que se dois vetores são perpendiculares então o produto escalar entre esses dois vetores é igual a zero.
\(\quad\quad\)Provadas as duas implicações provamos que \(\vec u \cdot \vec v \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v\).
\(\mathbf{[4]}\,\) Se \(\vec u \cdot \vec v < 0\) então o ângulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) é um ângulo obtuso.
\(\quad\quad\) Para provar esta propriedade basta verificar que se \(\vec u \cdot \vec v < 0\,\) então \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)<0\) o que implica que \(\vec u \mbox{^} \vec v\) é um ângulo obtuso (de amplitude superior a \(90º\) e inferior a \(180º\)).
\(\mathbf{[5]}\,\) Se \(\vec u \cdot \vec v > 0\) então o ângulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) é ângulo agudo.
\(\quad\quad\) Verifica-se que se \(\vec u \cdot \vec v > 0\,\) então \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)>0\) o que implica que \(\vec u \mbox{^} \vec v\) é um ângulo agudo (de amplitude superior a \(0º\) e inferior a \(90º\)).
\(\mathbf{[6]}\,\) \(\displaystyle\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|.\|\vec v\|}\).
\(\quad\quad\) Esta propriedade sai diretamente da definição de produto escalar entre dois vetores.
\(\mathbf{[7]}\,\) \(\vec u \cdot \vec v=\vec v \cdot \vec u\).
\(\mathbf{[8]}\,\) \((k \cdot\vec u)\cdot \vec v=k.(\vec u \cdot \vec v)\) para todo o \(k \in \mathbb{R}\).
\(\mathbf{[9]}\,\) Propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores,\(\vec u \cdot (\vec v+\vec w)=\vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w\).
