Principio de indução matemática

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Princípio de indução matemática

O Principio de indução matemática diz o seguinte - seja \(\mathcal{P}(n)\) uma proposição que depende de um inteiro natural \(n\in \mathbb{N}\). Então:

• se \(\mathcal{P}(1)\) é verdadeira, e se
• \(\forall n\in \mathbb{N}\) se \(\mathcal{P}(n)\) é verdadeira então \(\mathcal{P}(n+1)\) também o é

a proposição \(\mathcal{P}(n)\) é verdadeira \(\forall n\in \mathbb{N}\). O princípio serve pois para provar proposições do tipo \(\forall n\in \mathbb{N}, \, \mathcal{P}(n)\).

A maneira mais usual de visualizar este princípio é a da queda de peças de dominó em cadeia: se a primeira cai, e se cada peça provocar a queda da seguinte, então todas caiem. Mas se a primeira não cai, ou se existe na cadeia alguma peça que não provoque a cada da seguinte, nem todas caiem!

Exemplos

Podemos usar o princípio de indução matemática para mostrar que:

\[1+2+3+4+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\]

Neste caso \(\displaystyle \mathcal{P}(n)=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\). Portanto, \(\mathcal{P}(1)\)\(\displaystyle =1=\frac{1(1+1)}{2}\quad\) e \(\quad \mathcal{P}(n+1)\)\(\displaystyle =1+2+3+\cdots+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\).

1. \(\displaystyle \mathcal{P}(1)=1=\frac{1(1+1)}{2}\) é verdadeira.

2. Supomos agora que \(\mathcal{P}(n)\) é verdadeira, ou seja, a hipótese de indução. queremos mostrar que \(\mathcal{P}(n+1)\) também é verdadeira.

\(1+2+3+4+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}=\)

\(1+2+3+\cdots+n+(n+1)\)	=	\((1+2+3+\cdots+n)+(n+1)\)
	=	\(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}+(n+1), pela hipótese de indução
	=	\(\displaystyle \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}
	=	\(\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}