Diferenças entre edições de "Produto escalar"

Revisão das 03h39min de 15 de janeiro de 2013

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Produto escalar de dois vetores

Considerando $\vec u$ e $\vec v$ dois vetores, do plano ou do espaço, o produto escalar de $\vec u$ e $\vec v$ é o número representado por $\vec u \cdot \vec v$ e definido como:

Nas coordenadas do vetores

Podemos também obter o produto escalar entre dois vetores através das coordenadas dos vetores. Vamos então considerar $\vec u$ e $\vec v$ dois vetores cujas coordenadas são, $\vec u = (u_1,u_2)$ e $\vec v = (v_1,v_2)$, no plano, ou $\vec u = (u_1,u_2,u_3)$ e $\vec v = (v_1,v_2,v_3)$ no espaço.

No plano esse produto escalar é dado pela soma do produto das abcissas com o produto das ordenadas da seguinte forma:

De forma semelhante podemos obter o prduto escalar através das coordenadas dos vetores no espaço:

Propriedades

Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores, $\vec u$ e $vec v$ não nulos:

$\mathbf{[1]}\,$ Se $\vec u$ e $\vec v$ são dois vetores colineares podemos ter dois casos:

• $\vec u$ e $\vec v$ têm o mesmo sentido então $\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|$ pois

$\quad \quad \vec u$ e $\vec v$ colineares com o mesmo sentido $\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 0º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|$.

• $\vec u$ e $\vec v$ têm sentido contrário então $\vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|$ pois

$\quad \quad \vec u$ e $\vec v$ colineares com o sentidos contrários $\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 180º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=-1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|$.

$\mathbf{[2]},$ $\vec u \cdot \vec u=\|\vec u\|^2$ o que se deduz diretamente da propriedade anterior considerando $vec u$ e $vec u$ dois vetores colineares com o mesmo sentido.

$\mathbf{[3]}\,$ $\vec u \cdot \vec v \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v$.

$\quad \quad$ Neste caso temos de mostrar cada uma das implicações anteriores.

$\quad \quad \vec u \cdot \vec v=0 \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0$ mas $\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0$ e $0\le\vec u \mbox{^} \vec v\le180º \, \Rightarrow \,\vec u \mbox{^} \vec v=90º$ ou seja, $\vec u$ e $\vec v$ são perpendiculares. Acabamos então de provar que se o produto escalar entre dois vetores for igual a zero então esse vetores são perpendiculares.

$\quad \quad$Já se $\vec u \perp \vec v \, \Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v=90º \, \Rightarrow \, (\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v =0$. Provamos então que u>se</u> dois vetores são perpendiculares então o produto escalar entre esses dois vetores é igual a zero.

Provadas as duas implicações provamos que $\vec u \cdot \vec v \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v$.