Diferenças entre edições de "Principio de indução matemática"
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a proposição \(\mathcal{P}(n)\) é verdadeira \(\forall n\in \mathbb{N}\). O princípio serve pois para provar proposições do tipo \(\forall n\in \mathbb{N}, \, \mathcal{P}(n)\). | a proposição \(\mathcal{P}(n)\) é verdadeira \(\forall n\in \mathbb{N}\). O princípio serve pois para provar proposições do tipo \(\forall n\in \mathbb{N}, \, \mathcal{P}(n)\). | ||
| − | [[Ficheiro:Domino1.gif|thumb|right|400px | + | [[Ficheiro:Domino1.gif|thumb|right|400px]] A maneira mais usual de visualizar este princípio é a da queda de peças de dominó em cadeia: <span style="color:red;"> '''se''' </span> a primeira cai, e <span style="color:red;"> '''se''' </span> cada peça provocar a queda da seguinte, <span style="color:red;"> '''então''' </span> todas caiem. Mas se a primeira não cai, ou se existe na cadeia alguma peça que não provoque a cada da seguinte, nem todas caiem! |
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| + | '''1.''' \(\mathcal{P}(1)=1=\frac{1(1+1)}{2}\) é verdadeira. | ||
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Revisão das 00h20min de 8 de janeiro de 2013
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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Princípio de indução matemática
O Principio de indução matemática diz o seguinte - seja \(\mathcal{P}(n)\) uma proposição que depende de um inteiro natural \(n\in \mathbb{N}\). Então:
- se \(\mathcal{P}(1)\) é verdadeira, e se
- \(\forall n\in \mathbb{N}\) se \(\mathcal{P}(n)\) é verdadeira então \(\mathcal{P}(n+1)\) também o é
a proposição \(\mathcal{P}(n)\) é verdadeira \(\forall n\in \mathbb{N}\). O princípio serve pois para provar proposições do tipo \(\forall n\in \mathbb{N}, \, \mathcal{P}(n)\).
Exemplos
Podemos usar o princípio de indução matemática para mostrar que:
\[1+2+3+4+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\]
Neste caso \(\mathcal{P}(n)=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\). Portanto,
\(\mathcal{P}(1)=1=\frac{1(1+1)}{2}\) e \(\mathcal{P}(n+1)=1+2+3+\cdots+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\).
1. \(\mathcal{P}(1)=1=\frac{1(1+1)}{2}\) é verdadeira.
2. Supomos agora que \(\mathcal{P}(n)\) é verdadeira, ou seja, a hipótese de indução. queremos mostrar que \(\mathcal{P}(n+1)\) também é verdadeira.
