Diferenças entre edições de "Função quadrática"

• Se o discriminante \(\Delta=b^2-4ac\) for negativo, a função quadrática não tem zeros e portanto ou é sempre positiva ou sempre negativa. Se \(a >0\) a função é positiva para \(x \in \mathbb{R}\), pelo contrário se o coeficiente \(a<0\) então a função é negativa em todo o seu domínio. Ver figura 1.

• Se \(\Delta>0\) a função tem dois zeros, respetivamente: \(x_1=(-b-\sqrt{\Delta})/2a\quad\) ; \(\quad x_2=(-b+\sqrt{\Delta})/2a \quad\) com \(x_1<x_2\). Neste caso, se \(a>0\) a função é positiva no intervalo \(]-\infty,x_1[ \, \cup \, ]x_2,+\infty[\) e negativa para \(x \in \, ]x_1,x_2[\). Já se \(a<0\) a função toma valores positivos para \(x \in \, ]x_1,x_2[\) e valores negativos no intervalo \(]-\infty,x_1[ \, \cup \, ]x_2,+\infty[\). Ver figura 2.

• Finalmente se \(\Delta=0\) a função quadrática possui um único zero em \(x=-b/2a\). Neste caso, se \(a>0\) a função é positiva em \(x \in \, \mathbb{R} \backslash \{-b/2a\}\). Já se \(a<0\), a função é negativa em \(x \in \, \mathbb{R} \backslash \{-b/2a\}\). Ver figura 3.

\(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c=a\left[ \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2+ \frac{4ac-b^2}{4a^2} \right]\)

Considerando a soma da duas parcelas no interior dos parêntesis retos, verificamos que a primeira depende de \(x\) e é sempre positiva. A segunda parcela é constante. Portanto, o menor valor desta soma é atingido quando \(\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2\) é igual a zero, ou seja, quando \(x=-b/2a\). Neste ponto, \(f(x)\) também assume o seu valor mínimo. Concluímos assim que, quando \(a>0\) o menor valor (mínimo da função) assumido por \(f(x)\) é: \(f(-b/2a)=c-(b^2/4a)\).

Se \(a<0\), o valor \(f(-b/2a)\) é o maior dos números \(f(x)\) (máximo da função), para qualquer \(x \in \mathbb{R}\).

Quando \(a>0\), \(f(x)=ax^2+bx+c\) não assume valor máximo, é assim uma função ilimitada superiormente. Analogamente, quando \(a<0\), \(f(x)\) não assume valor mínimo sendo assim uma função ilimitada inferiormente.

A ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo dos \(yy\) é dado pelo valor de \(c\) pois, nesse ponto de interseção a abcissa é nula, ou seja \(x=0\), logo \(f(0)=a \times 0^2+b\times 0+c=c\).

O vértice da parábola é o ponto onde a função quadrática toma o seu valor máximo (quando \(a<0\)) ou mínimo (quando \(a>0\)). Portanto as coordenadas deste ponto correspondem ao maximizante e máximo da função ou ao minimizante e mínimo da função, respetivamente. As coordenadas do vértice da parábola são \(\displaystyle \left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)=\left(\frac{-b}{2a}, c-\frac{b^2}{4a}\right)\).

A reta de equação \(x=-b/2a\) define o eixo de simetria da parábola. Assim, o eixo de simetria da parábola contém sempre o vértice da mesma.

Os zeros da função quadrática são os pontos em que a função se anula, este pontos correspondem aos pontos de interseção da parábola com o eixo dos \(xx\). Como já foi estudado anteriormente a função quadrática pode ter no máximo dois zeros.

Mova os seletores a, b e c para alterar a função quadrática \(f(x)\). Verifique as propriedades acima enunciadas nomeadamente, as coordenadas dos pontos de interseção com os eixos coordenados.

Comece por mover o ponto \(P_0\) e estabelecer a posição inicial do projétil. Mova os seletores \(v_0\), \(\theta\) e \(m\) para alterar respetivamente, a velocidade inicial \(v_0\) do projétil, o ângulo \(\theta\) que o vetor velocidade inicial faz com a parte positiva do eixo dos xx, e a massa \(m\) do projétil. O seletor \(g\) permite variar a aceleração da gravidade (em \(m/s^2\)). Por exemplo, à superfície da terra \(g=9.8 m/s^2\). Finalmente, \(t\) indica o tempo decorrido após o lançamento do projétil.

Clique no botão play para observar o movimento do projétil. Note que a trajectória é independente da massa \(m\) do projétil!