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(Produto escalar de dois vetores)
 
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<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b><font color="#003600" >Não citável</font></span>  <span style="font-size:8pt"><font color="red">'''''Esta página ainda não foi aprovada.'''''</font></span>
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<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2019) Produto escalar, ''[http://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.]'',  V7(2):039
 
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<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
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<span style="font-size:8pt"><b>Autores</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar_e_Angela|João Nuno Tavares e Ângela Geraldo]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>Colocar nome do editor</i></span>
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<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
 
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<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[http://doi.org/10.24927/rce2019.039 http://doi.org/10.24927/rce2019.039]]</i></span><br>
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<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/pdf/2019/039/" target="_blank">
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__TOC__
  
 
==Produto escalar de dois vetores==
 
==Produto escalar de dois vetores==
  
Considerando \(\vec u\) e \(\vec v\) dois vetores não nulos, do plano ou do espaço, o produto escalar de \(\vec u\) e \(\vec v\) é o número representado por \(\vec u \cdot \vec v\) e definido como:
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| O produto escalar (euclidiano) de dois vetores \(\vec u = (u_1,u_2)\) e \(\vec v = (v_1,v_2)\) em \(\mathbb{R}^2\) define-se por:
  
 
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\[\vec u \cdot \vec v = ||\vec u||.||\vec v||.\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)\]
 
  
===Nas coordenadas do vetores===
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Da mesma forma se define o produto escalar de dois vetores \(\vec u = (u_1,u_2,u_3)\) e \(\vec v = (v_1,v_2,v_3)\) em \(\mathbb{R}^3\):
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Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, \(|\vec u \cdot \vec v| \le \|\vec u\|\|\vec v\|\), e considerando os dois vetores não nulos, deduzimos que \(\displaystyle \frac{|\vec u \cdot \vec v|}{\|\vec u\|\|\vec v\|} \le 1\), isto é, \(\displaystyle -1 \le \frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|} \le 1\).
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Portanto existe um único valor \(\theta \in [0,\pi]\) tal que \(\displaystyle \cos \theta=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\), já que a função cosseno restrita ao intervalo \([0,\pi]\) é uma função bijetiva sobre o intervalo \([-1,1]\). A este valor \(\theta\) chama-se o <span style="color:blue">'''ângulo convexo'''</span> entre dois vetores não nulos \(\vec u\) e \(\vec v\). Considerando \(\theta=(\vec u \mbox{^} \vec v) \in [0,\pi]\), esse ângulo define-se então através de:
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\[\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\| \|\vec v\|}\]
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Daqui resulta outra expressão que nos permite determinar o produto escalar entre dois vetores,
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<u>'''Atenção'''</u>: Do produto escalar entre dois vetores resulta um <span style="color:blue">'''número real'''</span> e não um vetor.
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A [[Norma de um vetor|norma de um vetor]] \(\,\vec u \in \mathbb{R}^2\) é dada por \(\|\vec u\|=\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2}\), \(u_1\) e \(u_2\) coordenadas de \(\vec u\). Já a norma de um vetor \(\vec u=(u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3\) é dada por \(\|\vec u\|=\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}\).
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==Propriedades==
 
==Propriedades==
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Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores, \(\vec u \) e \(\vec v\) não nulos:
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\(\mathbf{[1]}\,\)  Se \(\vec u\) e \(\vec v\) são dois vetores '''colineares''' podemos ter dois casos:
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* \(\vec u\) e \(\vec v\) têm o <u>mesmo sentido</u> então \(\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|\) pois
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\(\quad \quad \vec u\) e \(\vec v\) colineares  com o mesmo sentido \(\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 0º \, \Rightarrow  \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=1 \, \Rightarrow \, \vec  u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|\).
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* \(\vec u\) e \(\vec v\) têm <u>sentido contrário</u> então \(\vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|\) pois
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\(\quad \quad \vec u\) e \(\vec v\) colineares  com o sentidos contrários \(\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 180º \, \Rightarrow  \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=-1 \, \Rightarrow \, \vec  u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|\).
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\(\mathbf{[2]}\,\)  <span style="color:blue">\(\vec u \cdot \vec u=\|\vec u\|^2\)</span> o que se deduz diretamente da propriedade anterior considerando \(\vec u\) e \(\vec u\) dois vetores colineares com o mesmo sentido.
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\(\mathbf{[3]}\,\)  <span style="color:blue">\(\vec u \cdot \vec v=0 \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v\)</span>.
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\(\quad \quad\) Neste caso temos de mostrar cada uma das implicações anteriores.
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\(\quad \quad \vec u \cdot \vec v=0 \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\) mas \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\,\) e \(\,0\le\vec u \mbox{^} \vec v\le180º \, \Rightarrow \,\vec u \mbox{^} \vec v=90º\, \) ou seja, \(\vec u\) e \(\vec v\) são perpendiculares.
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\(\quad\quad \)Acabamos então de provar que <u>se</u> o produto escalar entre dois vetores for igual a zero <u>então</u> esses vetores são perpendiculares.
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\(\quad \quad\)Já se \(\vec u \perp \vec v \, \Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v=90º \, \Rightarrow \, (\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v =0\).
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\(\quad\quad \)Provamos então que <u>se</u>  dois vetores são perpendiculares <u>então</u> o produto escalar entre esses dois vetores é igual a zero.
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\(\quad\quad\)Provadas as duas implicações provamos que \(\vec u \cdot \vec v \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v\).
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\(\mathbf{[4]}\,\)  Se <span style="color:blue">\(\vec u \cdot \vec v < 0\)</span> então o ângulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) é um ângulo obtuso, ou seja, <span style="color:blue">\(90º < \vec u \mbox{^} \vec v < 180º\)</span>.
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\(\quad\quad\) Para provar esta propriedade basta verificar que se \(\vec u \cdot \vec v < 0\,\) então \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)<0\) o que implica que \(\vec u \mbox{^} \vec v\) é um ângulo obtuso (de amplitude superior a \(90º\) e inferior a \(180º\)).
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\(\mathbf{[5]}\,\)  Se <span style="color:blue">\(\vec u \cdot \vec v > 0\)</span> então o ângulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) é ângulo agudo, ou seja, <span style="color:blue">\(0º < \vec u \mbox{^} \vec v < 90º\)</span>.
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\(\quad\quad\) Verifica-se que se \(\vec u \cdot \vec v > 0\,\) então \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)>0\) o que implica que \(\vec u \mbox{^} \vec v\) é um ângulo agudo (de amplitude superior a \(0º\) e inferior a \(90º\)).
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\(\mathbf{[6]}\,\)  <span style="color:blue">\(\vec u \cdot \vec v=\vec v \cdot \vec u\)</span>.
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\(\mathbf{[7]}\,\)  <span style="color:blue">\(k(\vec u \cdot \vec v)=(k\vec u) \cdot \vec v = \vec u \cdot (k \vec v)\)</span>, para todo o \(k \in \mathbb{R}\).
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\(\mathbf{[8]}\,\)  Propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores, <span style="color:blue">\(\vec u \cdot (\vec v+\vec w)=\vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w\)</span>.
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\(\mathbf{[9]}\,\)  Desigualdade de Cauchy-Schwarz: <span style="color:blue">\(|\vec u \cdot \vec v| \le \|\vec u\| \|\vec v\|\)</span>.
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---- <br>Criada em 22 de Novembro de 2018<br> Revista em 29 de Maio de 2019<br> Aceite pelo editor em 21 de Junho de 2019<br>
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[[Category:Matemática]]

Edição actual desde as 10h39min de 30 de julho de 2019

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2019) Produto escalar, Rev. Ciência Elem., V7(2):039
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2019.039]
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Índice


Produto escalar de dois vetores

O produto escalar (euclidiano) de dois vetores \(\vec u = (u_1,u_2)\) e \(\vec v = (v_1,v_2)\) em \(\mathbb{R}^2\) define-se por:
\[ \quad \vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2).(v_1,v_2)=u_1 v_1+u_2 v_2 \quad \]


Da mesma forma se define o produto escalar de dois vetores \(\vec u = (u_1,u_2,u_3)\) e \(\vec v = (v_1,v_2,v_3)\) em \(\mathbb{R}^3\):

\[ \quad \vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2,u_3).(v_1,v_2,v_3)=u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3 \quad \]


Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, \(|\vec u \cdot \vec v| \le \|\vec u\|\|\vec v\|\), e considerando os dois vetores não nulos, deduzimos que \(\displaystyle \frac{|\vec u \cdot \vec v|}{\|\vec u\|\|\vec v\|} \le 1\), isto é, \(\displaystyle -1 \le \frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|} \le 1\).


Portanto existe um único valor \(\theta \in [0,\pi]\) tal que \(\displaystyle \cos \theta=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\), já que a função cosseno restrita ao intervalo \([0,\pi]\) é uma função bijetiva sobre o intervalo \([-1,1]\). A este valor \(\theta\) chama-se o ângulo convexo entre dois vetores não nulos \(\vec u\) e \(\vec v\). Considerando \(\theta=(\vec u \mbox{^} \vec v) \in [0,\pi]\), esse ângulo define-se então através de:

\[\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\| \|\vec v\|}\]

Daqui resulta outra expressão que nos permite determinar o produto escalar entre dois vetores,

\[ \quad \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\vec u \mbox{^} \vec v) \quad \]


Atenção: Do produto escalar entre dois vetores resulta um número real e não um vetor.


A norma de um vetor \(\,\vec u \in \mathbb{R}^2\) é dada por \(\|\vec u\|=\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2}\), \(u_1\) e \(u_2\) coordenadas de \(\vec u\). Já a norma de um vetor \(\vec u=(u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3\) é dada por \(\|\vec u\|=\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}\).


Propriedades

Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores, \(\vec u \) e \(\vec v\) não nulos:


\(\mathbf{[1]}\,\) Se \(\vec u\) e \(\vec v\) são dois vetores colineares podemos ter dois casos:

  • \(\vec u\) e \(\vec v\) têm o mesmo sentido então \(\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|\) pois

\(\quad \quad \vec u\) e \(\vec v\) colineares com o mesmo sentido \(\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 0º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|\).

  • \(\vec u\) e \(\vec v\) têm sentido contrário então \(\vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|\) pois

\(\quad \quad \vec u\) e \(\vec v\) colineares com o sentidos contrários \(\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 180º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=-1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|\).

\(\mathbf{[2]}\,\) \(\vec u \cdot \vec u=\|\vec u\|^2\) o que se deduz diretamente da propriedade anterior considerando \(\vec u\) e \(\vec u\) dois vetores colineares com o mesmo sentido.

\(\mathbf{[3]}\,\) \(\vec u \cdot \vec v=0 \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v\).

\(\quad \quad\) Neste caso temos de mostrar cada uma das implicações anteriores.

\(\quad \quad \vec u \cdot \vec v=0 \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\) mas \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\,\) e \(\,0\le\vec u \mbox{^} \vec v\le180º \, \Rightarrow \,\vec u \mbox{^} \vec v=90º\, \) ou seja, \(\vec u\) e \(\vec v\) são perpendiculares.

\(\quad\quad \)Acabamos então de provar que se o produto escalar entre dois vetores for igual a zero então esses vetores são perpendiculares.

\(\quad \quad\)Já se \(\vec u \perp \vec v \, \Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v=90º \, \Rightarrow \, (\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v =0\).

\(\quad\quad \)Provamos então que se dois vetores são perpendiculares então o produto escalar entre esses dois vetores é igual a zero.

\(\quad\quad\)Provadas as duas implicações provamos que \(\vec u \cdot \vec v \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v\).

\(\mathbf{[4]}\,\) Se \(\vec u \cdot \vec v < 0\) então o ângulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) é um ângulo obtuso, ou seja, \(90º < \vec u \mbox{^} \vec v < 180º\).

\(\quad\quad\) Para provar esta propriedade basta verificar que se \(\vec u \cdot \vec v < 0\,\) então \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)<0\) o que implica que \(\vec u \mbox{^} \vec v\) é um ângulo obtuso (de amplitude superior a \(90º\) e inferior a \(180º\)).

\(\mathbf{[5]}\,\) Se \(\vec u \cdot \vec v > 0\) então o ângulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) é ângulo agudo, ou seja, \(0º < \vec u \mbox{^} \vec v < 90º\).

\(\quad\quad\) Verifica-se que se \(\vec u \cdot \vec v > 0\,\) então \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)>0\) o que implica que \(\vec u \mbox{^} \vec v\) é um ângulo agudo (de amplitude superior a \(0º\) e inferior a \(90º\)).

\(\mathbf{[6]}\,\) \(\vec u \cdot \vec v=\vec v \cdot \vec u\).

\(\mathbf{[7]}\,\) \(k(\vec u \cdot \vec v)=(k\vec u) \cdot \vec v = \vec u \cdot (k \vec v)\), para todo o \(k \in \mathbb{R}\).

\(\mathbf{[8]}\,\) Propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores, \(\vec u \cdot (\vec v+\vec w)=\vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w\).

\(\mathbf{[9]}\,\) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: \(|\vec u \cdot \vec v| \le \|\vec u\| \|\vec v\|\).




Criada em 22 de Novembro de 2018
Revista em 29 de Maio de 2019
Aceite pelo editor em 21 de Junho de 2019