Diferenças entre edições de "Produto escalar"
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− | <span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> | + | <span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2019) Produto escalar, ''[http://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.]'', V7(2):039 |
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− | <span style="font-size:8pt"><b> | + | <span style="font-size:8pt"><b>Autores</b>: <i>[[Usuário:Jntavar_e_Angela|João Nuno Tavares e Ângela Geraldo]]</i></span><br> |
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− | + | <span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[http://doi.org/10.24927/rce2019.039 http://doi.org/10.24927/rce2019.039]]</i></span><br> | |
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+ | | O produto escalar (euclidiano) de dois vetores \(\vec u = (u_1,u_2)\) e \(\vec v = (v_1,v_2)\) em \(\mathbb{R}^2\) define-se por: | ||
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− | ! style="background: #efefef;" | \[\vec u \cdot \vec v = \ | + | ! style="background: #efefef;" | \[ \quad \vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2).(v_1,v_2)=u_1 v_1+u_2 v_2 \quad \] |
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− | === | + | Da mesma forma se define o produto escalar de dois vetores \(\vec u = (u_1,u_2,u_3)\) e \(\vec v = (v_1,v_2,v_3)\) em \(\mathbb{R}^3\): |
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+ | ! style="background: #efefef;" | \[ \quad \vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2,u_3).(v_1,v_2,v_3)=u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3 \quad \] | ||
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+ | Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, \(|\vec u \cdot \vec v| \le \|\vec u\|\|\vec v\|\), e considerando os dois vetores não nulos, deduzimos que \(\displaystyle \frac{|\vec u \cdot \vec v|}{\|\vec u\|\|\vec v\|} \le 1\), isto é, \(\displaystyle -1 \le \frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|} \le 1\). | ||
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+ | Portanto existe um único valor \(\theta \in [0,\pi]\) tal que \(\displaystyle \cos \theta=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\), já que a função cosseno restrita ao intervalo \([0,\pi]\) é uma função bijetiva sobre o intervalo \([-1,1]\). A este valor \(\theta\) chama-se o <span style="color:blue">'''ângulo convexo'''</span> entre dois vetores não nulos \(\vec u\) e \(\vec v\). Considerando \(\theta=(\vec u \mbox{^} \vec v) \in [0,\pi]\), esse ângulo define-se então através de: | ||
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+ | \[\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\| \|\vec v\|}\] | ||
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+ | <html><iframe scrolling="no" title="Produto escalar" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/x2pc8gca/width/1255/height/607/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="430px" height="550px" style="border:0px;"> </iframe></html> | ||
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+ | A [[Norma de um vetor|norma de um vetor]] \(\,\vec u \in \mathbb{R}^2\) é dada por \(\|\vec u\|=\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2}\), \(u_1\) e \(u_2\) coordenadas de \(\vec u\). Já a norma de um vetor \(\vec u=(u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3\) é dada por \(\|\vec u\|=\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}\). | ||
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+ | Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores, \(\vec u \) e \(\vec v\) não nulos: | ||
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+ | * \(\vec u\) e \(\vec v\) têm <u>sentido contrário</u> então \(\vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|\) pois | ||
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+ | \(\quad \quad \vec u\) e \(\vec v\) colineares com o sentidos contrários \(\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 180º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=-1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|\). | ||
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+ | \(\mathbf{[2]}\,\) <span style="color:blue">\(\vec u \cdot \vec u=\|\vec u\|^2\)</span> o que se deduz diretamente da propriedade anterior considerando \(\vec u\) e \(\vec u\) dois vetores colineares com o mesmo sentido. | ||
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+ | \(\mathbf{[3]}\,\) <span style="color:blue">\(\vec u \cdot \vec v=0 \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v\)</span>. | ||
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+ | \(\quad \quad\) Neste caso temos de mostrar cada uma das implicações anteriores. | ||
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+ | \(\quad \quad \vec u \cdot \vec v=0 \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\) mas \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\,\) e \(\,0\le\vec u \mbox{^} \vec v\le180º \, \Rightarrow \,\vec u \mbox{^} \vec v=90º\, \) ou seja, \(\vec u\) e \(\vec v\) são perpendiculares. | ||
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+ | \(\quad\quad \)Acabamos então de provar que <u>se</u> o produto escalar entre dois vetores for igual a zero <u>então</u> esses vetores são perpendiculares. | ||
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+ | \(\quad \quad\)Já se \(\vec u \perp \vec v \, \Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v=90º \, \Rightarrow \, (\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v =0\). | ||
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+ | \(\quad\quad \)Provamos então que <u>se</u> dois vetores são perpendiculares <u>então</u> o produto escalar entre esses dois vetores é igual a zero. | ||
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+ | \(\quad\quad\)Provadas as duas implicações provamos que \(\vec u \cdot \vec v \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v\). | ||
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+ | \(\mathbf{[4]}\,\) Se <span style="color:blue">\(\vec u \cdot \vec v < 0\)</span> então o ângulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) é um ângulo obtuso, ou seja, <span style="color:blue">\(90º < \vec u \mbox{^} \vec v < 180º\)</span>. | ||
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+ | \(\quad\quad\) Para provar esta propriedade basta verificar que se \(\vec u \cdot \vec v < 0\,\) então \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)<0\) o que implica que \(\vec u \mbox{^} \vec v\) é um ângulo obtuso (de amplitude superior a \(90º\) e inferior a \(180º\)). | ||
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+ | \(\mathbf{[5]}\,\) Se <span style="color:blue">\(\vec u \cdot \vec v > 0\)</span> então o ângulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) é ângulo agudo, ou seja, <span style="color:blue">\(0º < \vec u \mbox{^} \vec v < 90º\)</span>. | ||
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+ | \(\quad\quad\) Verifica-se que se \(\vec u \cdot \vec v > 0\,\) então \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)>0\) o que implica que \(\vec u \mbox{^} \vec v\) é um ângulo agudo (de amplitude superior a \(0º\) e inferior a \(90º\)). | ||
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+ | \(\mathbf{[6]}\,\) <span style="color:blue">\(\vec u \cdot \vec v=\vec v \cdot \vec u\)</span>. | ||
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+ | \(\mathbf{[7]}\,\) <span style="color:blue">\(k(\vec u \cdot \vec v)=(k\vec u) \cdot \vec v = \vec u \cdot (k \vec v)\)</span>, para todo o \(k \in \mathbb{R}\). | ||
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+ | \(\mathbf{[8]}\,\) Propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores, <span style="color:blue">\(\vec u \cdot (\vec v+\vec w)=\vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w\)</span>. | ||
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+ | \(\mathbf{[9]}\,\) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: <span style="color:blue">\(|\vec u \cdot \vec v| \le \|\vec u\| \|\vec v\|\)</span>. | ||
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+ | ---- <br>Criada em 22 de Novembro de 2018<br> Revista em 29 de Maio de 2019<br> Aceite pelo editor em 21 de Junho de 2019<br> | ||
+ | [[Category:Matemática]] |
Edição actual desde as 10h39min de 30 de julho de 2019
Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2019) Produto escalar, Rev. Ciência Elem., V7(2):039
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2019.039]
Índice |
Produto escalar de dois vetores
O produto escalar (euclidiano) de dois vetores \(\vec u = (u_1,u_2)\) e \(\vec v = (v_1,v_2)\) em \(\mathbb{R}^2\) define-se por:
\[\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\| \|\vec v\|}\] |
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Daqui resulta outra expressão que nos permite determinar o produto escalar entre dois vetores,
\[ \quad \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\vec u \mbox{^} \vec v) \quad \] |
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Atenção: Do produto escalar entre dois vetores resulta um número real e não um vetor.
A norma de um vetor \(\,\vec u \in \mathbb{R}^2\) é dada por \(\|\vec u\|=\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2}\), \(u_1\) e \(u_2\) coordenadas de \(\vec u\). Já a norma de um vetor \(\vec u=(u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3\) é dada por \(\|\vec u\|=\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}\).
Propriedades
Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores, \(\vec u \) e \(\vec v\) não nulos:
\(\mathbf{[1]}\,\) Se \(\vec u\) e \(\vec v\) são dois vetores colineares podemos ter dois casos:
- \(\vec u\) e \(\vec v\) têm o mesmo sentido então \(\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|\) pois
\(\quad \quad \vec u\) e \(\vec v\) colineares com o mesmo sentido \(\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 0º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|\).
- \(\vec u\) e \(\vec v\) têm sentido contrário então \(\vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|\) pois
\(\quad \quad \vec u\) e \(\vec v\) colineares com o sentidos contrários \(\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 180º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=-1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|\).
\(\mathbf{[2]}\,\) \(\vec u \cdot \vec u=\|\vec u\|^2\) o que se deduz diretamente da propriedade anterior considerando \(\vec u\) e \(\vec u\) dois vetores colineares com o mesmo sentido.
\(\mathbf{[3]}\,\) \(\vec u \cdot \vec v=0 \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v\).
\(\quad \quad\) Neste caso temos de mostrar cada uma das implicações anteriores.
\(\quad \quad \vec u \cdot \vec v=0 \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\) mas \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\,\) e \(\,0\le\vec u \mbox{^} \vec v\le180º \, \Rightarrow \,\vec u \mbox{^} \vec v=90º\, \) ou seja, \(\vec u\) e \(\vec v\) são perpendiculares.
\(\quad\quad \)Acabamos então de provar que se o produto escalar entre dois vetores for igual a zero então esses vetores são perpendiculares.
\(\quad \quad\)Já se \(\vec u \perp \vec v \, \Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v=90º \, \Rightarrow \, (\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v =0\).
\(\quad\quad \)Provamos então que se dois vetores são perpendiculares então o produto escalar entre esses dois vetores é igual a zero.
\(\quad\quad\)Provadas as duas implicações provamos que \(\vec u \cdot \vec v \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v\).
\(\mathbf{[4]}\,\) Se \(\vec u \cdot \vec v < 0\) então o ângulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) é um ângulo obtuso, ou seja, \(90º < \vec u \mbox{^} \vec v < 180º\).
\(\quad\quad\) Para provar esta propriedade basta verificar que se \(\vec u \cdot \vec v < 0\,\) então \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)<0\) o que implica que \(\vec u \mbox{^} \vec v\) é um ângulo obtuso (de amplitude superior a \(90º\) e inferior a \(180º\)).
\(\mathbf{[5]}\,\) Se \(\vec u \cdot \vec v > 0\) então o ângulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) é ângulo agudo, ou seja, \(0º < \vec u \mbox{^} \vec v < 90º\).
\(\quad\quad\) Verifica-se que se \(\vec u \cdot \vec v > 0\,\) então \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)>0\) o que implica que \(\vec u \mbox{^} \vec v\) é um ângulo agudo (de amplitude superior a \(0º\) e inferior a \(90º\)).
\(\mathbf{[6]}\,\) \(\vec u \cdot \vec v=\vec v \cdot \vec u\).
\(\mathbf{[7]}\,\) \(k(\vec u \cdot \vec v)=(k\vec u) \cdot \vec v = \vec u \cdot (k \vec v)\), para todo o \(k \in \mathbb{R}\).
\(\mathbf{[8]}\,\) Propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores, \(\vec u \cdot (\vec v+\vec w)=\vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w\).
\(\mathbf{[9]}\,\) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: \(|\vec u \cdot \vec v| \le \|\vec u\| \|\vec v\|\).
Criada em 22 de Novembro de 2018
Revista em 29 de Maio de 2019
Aceite pelo editor em 21 de Junho de 2019