Diferenças entre edições de "Equações da reta"

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<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b><font color="#003600" >Não citável</font></span>  <span style="font-size:8pt"><font color="red">'''''Esta página ainda não foi aprovada.'''''</font></span>
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<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2017) '' Equações da reta'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V5(2):074
 
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<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
 
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>Colocar nome do editor</i></span>
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<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
 
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<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2017.074 https://doi.org/10.24927/rce2017.074]]</i></span><br>
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<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2017-074.pdf" target="_blank">
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                <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html>
 
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__TOC__
 
__TOC__
  
=Reta ortogonal a um vetor=
+
=Reta que passa num ponto e é perpendicular a um vetor=
  
 
==Equação cartesiana==
 
==Equação cartesiana==
  
Considerando dois vetores \(\vec u\) e \(\vec x\), com \(\vec u \neq 0\), a equação em \(\vec x\),  \(\vec u \cdot \vec x =0\) representa o conjunto de todos os vetores \(\vec x\) que são ortogonais a \(\vec u\). Temos então dois casos:
 
  
*'''No plano''', a equação \(\vec u \cdot \vec x =0\) representa a reta vetorial (isto é, que passa na origem) ortogonal a \(\vec u\). Se \(\vec u =(a,b)\) e \(\vec x =(x,y)\), \(\vec u \cdot \vec x = (a,b) \cdot (x,y)= ax +by\), e então a equação escreve-se da forma,
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| Considerando um ponto \(A=(x_A,y_A)\) e um vetor \(\vec {\bf n}\), a reta que passa por \(A\) e é perpendicular a \(\vec {\bf n}\) é definida através da equação \(\vec {\bf n}  \cdot  \overrightarrow{AP}=0\), onde \(P=(x,y)\) um ponto genérico da reta considerada.  
 +
Se \( \vec {\bf n}=(a,b)\) e \(\overrightarrow{AP}=(x-x_A,y-y_A)\), \(\vec {\bf n} \cdot \overrightarrow{AP}=(a,b) \cdot (x-x_A,y-y_A)=a(x-x_A)+b(y-y_A)\), e então a equação escreve-se da forma,
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
 
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! style="background: #efefef;" | \[ax + by=0\]
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! style="background: #efefef;" | \[\quad a(x-x_A) + b(y-y_A)=0 \quad\]
 
|}
 
|}
\(\qquad\)e diz-se a <span style="color:red">'''equação cartesiana'''</span> <u>da reta</u> referida.
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e diz-se a <span style="color:red">'''equação cartesiana'''</span> <u>da reta</u> referida.
  
  
*'''No espaço''', a equação \(\vec u \cdot \vec x =0\) representa o plano vetorial (isto é, que passa na origem) ortogonal a \(\vec u\). Se \(\vec u =(a,b,c)\) e \(\vec x =(x,y,z)\), \(\vec u \cdot \vec x = (a,b,c) \cdot (x,y,z)= ax+by+cz\), e então a equação escreve-se da forma,
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<span style="color:#4682B4">'''''Exemplos'''''</span>
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
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* \(2x-y=0\) é a equação cartesiana da reta que passa, por exemplo, no ponto \(A=(1,2)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec {\bf n} =(2,-1)\).
! style="background: #efefef;" | \[ax + by + cz=0\]
+
* \(\displaystyle 2y=\frac{x}{3}\) é a equação cartesiana da reta que passa, por exemplo, no ponto \(A=(3,1/2)\) e é perpendicular ao vetor  \(\vec {\bf n} =(-1/3,2)\).
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|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
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|<html><iframe scrolling="no" title="Equações da reta" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pejcsdu4/width/400/height/350/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="400px" height="350px" style="border:0px;"> </iframe></html>
 
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\(\qquad\)e diz-se a <span style="color:red">'''equação cartesiana'''</span> <u>do plano</u> referido.
 
  
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<span style="color:#4682B4">'''''Aplicação'''''</span>
  
<span style="color:#4682B4">'''''Exemplos'''''</span>
+
Como calcular a equação cartesiana da reta que passa em \(A=(-1,2)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec {\bf n}=(3,4)\)?
  
* \(2x-y=0\) é a equação da reta vetorial ortogonal ao vetor \(\vec u =(2,-1)\).
+
Consideramos \(P=(x,y)\) um ponto genérico dessa reta, então o vetor \(\overrightarrow{AP}=P-A=(x,y)-(-1,2)=(x+1,y-2)\) é ortogonal ao vetor \(\vec {\bf n}\). Portanto, \(\overrightarrow{AP} \cdot \vec {\bf n}=0\), isto é,
* \(-x+3y+5=0\) é a equação do plano vetorial ortogonal ao vetor \(\vec u =(-1,3,5)\).
+
 
* \(3x-4z=0\) (em \(\mathbb{R}^3\)) é a equação da reta vetorial ortogonal ao vetor \(\vec u =(3,0,-4)\). Esta reta está contida no plano \(y=0\), ou seja no plano \(xOz\).
+
\((x+1,y-2) \cdot (3,4)=0 \, \Leftrightarrow \, 3(x+1)+4(y-2)=0 \, \Leftrightarrow \, 3x+4y=5\).
  
  
 
==Equação vetorial==
 
==Equação vetorial==
 
+
{| class="wikitable"
Considerando a mesma reta, \(\vec u \cdot \vec x =0\), vejamos que o vetor \(\vec v=(-b,a)\) pertence à reta uma vez que \(\vec u \cdot \vec v=(a,b) \cdot (-b,a)= -ab+ba=0\). Portanto a reta é também o conjunto de todos os vetores \(\vec x\) que são múltiplos escalares do vetor \(\vec v\). Isto é,
+
|-
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| Considerando a mesma reta, \(\vec {\bf n} \cdot \overrightarrow{AP} =0\), onde \(\vec {\bf n}=(a,b)\), vejamos que o vetor \(\vec {\bf v}=(-b,a)\) tem a mesma direção  dessa reta. De facto  \(\vec {\bf n} \cdot \vec {\bf v}=(a,b) \cdot (-b,a)= -ab+ba=0\). Portanto a reta é também o conjunto de todos os pontos \(P=(x,y)\), tais que \(P-A=\overrightarrow{AP}\) é um múltiplo  escalar  de vetor \(\vec {\bf v}\). Isto é, \((P-A)=t \vec {\bf v}\). 
  
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
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| \[ax+by=0 \, \Longleftrightarrow\]
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! style="background: #efefef;" | \[\quad P \in \mathbb{R}^2: P=A+t\vec {\bf v} , \quad t \in \mathbb{R} \quad\]  
! style="background: #efefef;" | \[\,\{\vec x \in \mathbb{R}^2: \vec x=t(-b,a), \quad t \in \mathbb{R}\}\]  
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|}
 
|}
  
A equação \(\vec x=t \vec v\) diz-se <span style="color:red">'''equação vetorial'''</span> da reta referida.
+
A equação \(P=A+t\vec {\bf v}\) diz-se a <span style="color:red">'''equação vetorial'''</span> da reta que passa no ponto \(A\) e é paralela ao vetor \(\vec {\bf v}\).
  
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|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
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|<html><iframe scrolling="no" title="Equações da reta" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/d9kwdmbq/width/420/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="420px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html>
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|}
  
 
==Equações paramétricas==
 
==Equações paramétricas==
  
Se \(\vec x =(x,y)\), como \(\vec v=(-b,a)\), então \(\vec x=t \vec v \, \Leftrightarrow \, (x,y)=t(-b,a) \, \Leftrightarrow \, x=-tb \wedge y=ta\), sendo que assim a equação vetorial é equivalente às duas equações seguintes:
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{| border="0"
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| Se \( \overrightarrow{AP} =(x-x_A,y-y_A)\),  então, como \(\vec{\bf v}=(-b,a)\),
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\(\overrightarrow{AP}=t \vec {\bf v} \, \Leftrightarrow \, (x-x_A,y-y_A)=t(-b,a) \, \Leftrightarrow \, x-x_A=-tb \wedge y-y_A=ta\), sendo assim equivalente ao sistema de duas equações seguinte:
  
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
 
|-
 
|-
! style="background: #efefef;" | \[ \left\{\begin{array}{ll} x=-tb & \\ & , t \in \mathbb{R} \\ y=ta & \end{array} \right.\]
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| ! style="background: #efefef;" | \[ \quad \left\{\begin{array}{ll} x=x_A-tb & \\ & , t \in \mathbb{R} \\ y=y_A+ ta & \end{array} \right.\quad \]
 
|}
 
|}
  
 
Que se dizem <span style="color:red">'''equações paramétricas'''</span> da reta referida.
 
Que se dizem <span style="color:red">'''equações paramétricas'''</span> da reta referida.
Quando o "tempo" \(t\) varia, elas representam o movimento de um ponto (partícula) que se desloca sobre a reta com movimento uniforme de vetor-velocidade \(\vec v=(-b,a)\) e velocidade (escalar) \(v=\|\vec v\|=\sqrt{a^2+b^2}\).
+
Quando o "tempo" \(t\) varia, elas representam o movimento de um ponto (partícula) que se desloca sobre a reta com movimento uniforme de vetor-velocidade \(\vec {\bf v}=(-b,a)\) e velocidade (escalar) \(v=\|\vec {\bf v}\|=\sqrt{a^2+b^2}\).  
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| &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 
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| <span style="color:#4682B4">'''''Aplicação'''''</span>
  
<span style="color:#FFD700">'''''(Colocar Applet)'''''</span>
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Como calcular as equações paramétricas da reta que passa no ponto \(A=(2,-3)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec {\bf n}=(1,4)\)?
  
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O vetor \(\vec {\bf v}=(-4,1)\) é perpendicular ao vetor \(\vec {\bf n}\) pois \(\vec {\bf n} \cdot \vec {\bf v}=(1,4) \cdot (-4,1)=-4+4=0\). Portanto, pretendemos as equações paramétricas da reta que passa em \(A=(2,-3)\) e é paralela ao vetor \(\vec {\bf v}=(-4,1)\). Se \(P=(x,y)\) um ponto genérico dessa reta, então \(\overrightarrow{AP}=P-A=(x,y)-(2,-3)=(x-2,y+3)\) é um múltiplo escalar do vetor \(\vec {\bf v}\), isto é, \(\overrightarrow{AP}=t\vec {\bf v}\), ou seja,
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\((x-2,y+3)=t(-4,1) \, \Longleftrightarrow \, \left\{\begin{array}{ll} x=2-4t \\ y=-3+t \, , \quad  t \in \mathbb{R}\end{array}\right.\)
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|}
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<div style="text-align: center;">
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<html><iframe scrolling="no" title="Equações da reta" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zxfbn8yh/width/350/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="350px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html>
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</div>
  
 
=Reta que passa por dois pontos=
 
=Reta que passa por dois pontos=
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==Equação vetorial==
 
==Equação vetorial==
  
Pretendemos agora determinar a equação de uma reta que passa em dois pontos distintos. Temos então dois casos
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|Pretendemos agora determinar a equação de uma reta que passa em dois pontos distintos. Temos então dois casos:
  
No plano, sejam \(A=(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\) esses dois pontos, queremos então determinar a equação da reta que passa por \(A\) e é paralela ao vetor \(\overrightarrow{AB}\). Se \(P=(x,y)\)  é um ponto genérico dessa vetor temos que,
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<u>No plano</u>, sejam \(A=(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\) esses dois pontos, queremos então determinar a equação da reta que passa por \(A\) e é paralela ao vetor \(\overrightarrow{AB}\). Se \(P=(x,y)\)  é um ponto genérico dessa reta temos que,
  
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
 
|-
 
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! style="background: #efefef;" | \[P=A+t\overrightarrow{AB}\, , \quad t \in \mathbb{R}\]  
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! style="background: #efefef;" | \[\quad P=A+t\overrightarrow{AB}\, , \quad t \in \mathbb{R}\quad \]  
 
|}
 
|}
  
 
que é chamada a <span style="color:red">'''equação vetorial'''</span> da reta. Em coordenadas, \((x,y)=(x_A,y_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}\).
 
que é chamada a <span style="color:red">'''equação vetorial'''</span> da reta. Em coordenadas, \((x,y)=(x_A,y_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}\).
  
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<u>No espaço</u>, considerando \(A=(x_A,y_A,z_A)\) e \(B=(x_B,y_B,z_B)\) os dois pontos pelos quais passa a reta a sua '''equação vetorial''' é:
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\[(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}\].
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| &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
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| <span style="color:#4682B4">'''''Aplicação'''''</span>
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Como calcular a equação vetorial da reta que passa pelos pontos \(A=(2,-1,0)\) e \(B=(-3,1,2)\)?
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Consideramos \(P=(x,y,z)\) um ponto genérico dessa reta. A reta pretendida passa pelos pontos \(A\) e \(B\) por isso é uma reta paralela ao vetor \(\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,1,2)-(2,-1,0)=(-5,0,2)\). Portanto a equação vetorial dessa reta é dada por:
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\(P=A+t\overrightarrow{AB} \, \Longleftrightarrow \, (x,y,z)=(2,-1,0)+t(-5,0,2) \, , \quad t \in \mathbb{R}\)
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[[Imagem: Eqvetorialpontos.png|thumb|center|450px|'''Fig.1''' - Reta que passa por dois pontos (no espaço)]]
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|}
  
 
==Equações paramétricas==
 
==Equações paramétricas==
  
A equação vetorial anterior é assim equivalente a \(x=x_A+t(x_b-x_A) \, \wedge \, y=y_A+t(y_B-y_A)\), ou num sistema:
+
Das equações vetoriais da reta anteriores podemos obter as <span style="color:red">'''equações paramétricas'''</span>.
 +
Para o caso em que \(A\) e \(B\) são pontos em \(\mathbb{R}^2\) a equação vetorial da reta é equivalente a \(x=x_A+t(x_b-x_A) \, \wedge \, y=y_A+t(y_B-y_A)\), ou num sistema:
  
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
 
|-
 
|-
! style="background: #efefef;" | \[ \left\{\begin{array}{ll} x=x_A+t(x_b-x_A & \\ & , t \in \mathbb{R} \\ y=y_A+t(y_B-y_A) & \end{array} \right.\]
+
! style="background: #efefef;" | \[ \quad \left\{\begin{array}{ll} x=x_A+t(x_B-x_A) & \\ & , t \in \mathbb{R} \\ y=y_A+t(y_B-y_A) & \end{array} \right. \quad\]
 
|}
 
|}
  
Que são as <span style="color:red">'''equações paramétricas'''</span> da reta.
+
 
 +
Para o caso em que \(A\) e \(B\) são pontos em \(\mathbb{R}^3\) a equação vetorial da reta é equivalente a \(x=x_A+t(x_b-x_A) \, \wedge \, y=y_A+t(y_B-y_A) \, \wedge \, z=z_A+t(z_B-z_A)\), ou num sistema, considerando \(t \in \mathbb{R}\):
 +
 
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{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
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|-
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! style="background: #efefef;" | \[ \quad\left\{\begin{array}{l} x=x_A+t(x_B-x_A) \\ y=y_A+t(y_B-y_A) \\ z=z_A+t(z_B-z_A) \end{array} \right. \quad\]
 +
|}
  
  
 
==Equação cartesiana==
 
==Equação cartesiana==
  
Simplificando o sistema anterior e eliminando o parâmetro \(t\), obtemos a equação cartesiana da reta que passa pelos pontos \(A\) e \(B\):
+
Simplificando os sistemas anteriores e eliminando o parâmetro \(t\), obtemos do primeiro sistema a <span style="color:red">'''equação cartesiana'''</span> da reta <u>no plano</u>, que passa pelos pontos \(A=(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\):
  
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
 
|-
 
|-
! style="background: #efefef;" | \[(y_B-y_A)(x-x_A)=(y-y_A)(x_B-x_A)\]
+
! style="background: #efefef;" | \[\quad(y_B-y_A)(x-x_A)=(y-y_A)(x_B-x_A)\quad\]
 
|}
 
|}
 
  
 
* Se \(x_B-x_A=0\), então \(y_B-y_A \neq 0\), pois os dois pontos são distintos, e a reta é uma reta vertical de equação \(x=x_A\).
 
* Se \(x_B-x_A=0\), então \(y_B-y_A \neq 0\), pois os dois pontos são distintos, e a reta é uma reta vertical de equação \(x=x_A\).
 
* Se \(y_B-y_A=0\), então \(x_B-x_A \neq 0\), pois os dois pontos são distintos, e a reta é uma reta horizontal de equação \(y=y_A\).
 
* Se \(y_B-y_A=0\), então \(x_B-x_A \neq 0\), pois os dois pontos são distintos, e a reta é uma reta horizontal de equação \(y=y_A\).
 
* Se \(x_B-x_A \neq 0\) e \(y_B-y_A \neq 0\), a reta tem por equação:
 
* Se \(x_B-x_A \neq 0\) e \(y_B-y_A \neq 0\), a reta tem por equação:
 +
 +
\[y=y_A+\frac{(y_B-y_A)}{(x_B-x_A)}(x-x_A)\]
 +
 +
Do segundo sistema obtemos as '''equações cartesianas''' (também chamadas '''equações homogéneas''') da reta que passa em \(A\) e \(B\) <u>no espaço</u>, com \(A, B \in \mathbb{R}^3\).
  
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
 
|-
 
|-
! style="background: #efefef;" | \[y=y_A+\frac{(y_B-y_A)}{(x_B-x_A)}(x-x_A)\]
+
! style="background: #efefef;" | \[\quad\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}\quad\]
 
|}
 
|}
+
 
+
=Equação reduzida de uma reta=
 +
 
 +
==Inclinação e declive da reta==
 +
 
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
| A '''inclinação''' de uma reta é o menor ângulo positivo \(\alpha\) que a reta faz com a parte positiva do eixo dos \(xx\).
 +
 
 +
Considerando dois pontos dessa reta, \(A(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\), o '''declive''' da reta, usualmente denominado por \(m\), é o quociente entre a diferença das ordenadas e a diferença das abcissas de dois pontos dessa mesma reta, ou seja,
 +
 
 +
\[m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\]
 +
 
 +
Se \(x_B-x_A \neq 0\) e \(y_B-y_A\neq 0\) então temos uma reta não vertical e não horizontal. Se \(x_B-x_A=0\) a reta é vertical e diz-se que o seu declive é infinito. Já se \(y_B-y_A=0\) temos uma reta horizontal (com declive nulo).
 +
 
 +
Através da trigonometria, o ''declive'' de uma reta é diretamente associado à inclinação da mesma pois, pela definição de tangente de um ângulo concluímos que o declive da reta é igual à tangente da inclinação da mesma, ou seja:
 +
 
 +
\[m=\tan \alpha\].
 +
||
 +
[[Imagem: Eqreduzida2.png|thumb|upright|210px|'''Fig.2''' - Inclinação \(\alpha\) e declive de uma reta.]]
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|}
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==Equação \(y=mx+b\)==
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A equação reduzida de uma reta no plano é definida através da expressão,
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\[y=mx+b\]
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em que \(m\) é o declive da reta e \(b\) a ordenada na origem.
 +
O valor \(b\) é assim a ordenada do ponto de interseção da reta considerada com o eixo dos \(yy\), ponto \((0,b)\), ou o valor que se obtém para \(y\) quando substituímos o valor de \(x\) por zero.
 +
 
 +
 
 +
<span style="color:#4682B4">'''''Aplicação'''''</span>
 +
 
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Como calcular a equação reduzida da reta que passa pelos pontos \(A=(2,-1)\) e \(B=(4,6)\)?
 +
 
 +
Começamos por determinar o declive da reta: \(\displaystyle m=\frac{6-(-1)}{4-2} \, \Leftrightarrow \, m=\frac{7}{2}\). Temos então que \(\displaystyle y=\frac{7}{2}x+b\).
 +
Para determinarmos o valor de \(b\) basta substituirmos na expressão anterior os valores de \(x\) e \(y\) pelas coordenadas de um dos pontos. Substituindo pelas coordenadas de \(A\) obtemos:
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\(\displaystyle -1=\frac{7}{2}\times 2 +b \, \Leftrightarrow \, b=-1-7=-8\).
 +
 
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Concluímos então que a equação da reta pretendida é \(\displaystyle y=\frac{7}{2}x-8\).
 +
 
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---- <br>Criada em 3 de Junho de 2013<br> Revista em 12 de Junho de 2013<br> Aceite pelo editor em 30 de Junho de 2017<br>
 
[[Category:Matemática]]
 
[[Category:Matemática]]

Edição actual desde as 08h45min de 13 de julho de 2021

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Equações da reta, Rev. Ciência Elem., V5(2):074
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.074]
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Índice


Reta que passa num ponto e é perpendicular a um vetor

Equação cartesiana

Considerando um ponto \(A=(x_A,y_A)\) e um vetor \(\vec {\bf n}\), a reta que passa por \(A\) e é perpendicular a \(\vec {\bf n}\) é definida através da equação \(\vec {\bf n} \cdot \overrightarrow{AP}=0\), onde \(P=(x,y)\) um ponto genérico da reta considerada.

Se \( \vec {\bf n}=(a,b)\) e \(\overrightarrow{AP}=(x-x_A,y-y_A)\), \(\vec {\bf n} \cdot \overrightarrow{AP}=(a,b) \cdot (x-x_A,y-y_A)=a(x-x_A)+b(y-y_A)\), e então a equação escreve-se da forma,

\[\quad a(x-x_A) + b(y-y_A)=0 \quad\]

e diz-se a equação cartesiana da reta referida.


Exemplos

  • \(2x-y=0\) é a equação cartesiana da reta que passa, por exemplo, no ponto \(A=(1,2)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec {\bf n} =(2,-1)\).
  • \(\displaystyle 2y=\frac{x}{3}\) é a equação cartesiana da reta que passa, por exemplo, no ponto \(A=(3,1/2)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec {\bf n} =(-1/3,2)\).
        

Aplicação

Como calcular a equação cartesiana da reta que passa em \(A=(-1,2)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec {\bf n}=(3,4)\)?

Consideramos \(P=(x,y)\) um ponto genérico dessa reta, então o vetor \(\overrightarrow{AP}=P-A=(x,y)-(-1,2)=(x+1,y-2)\) é ortogonal ao vetor \(\vec {\bf n}\). Portanto, \(\overrightarrow{AP} \cdot \vec {\bf n}=0\), isto é,

\((x+1,y-2) \cdot (3,4)=0 \, \Leftrightarrow \, 3(x+1)+4(y-2)=0 \, \Leftrightarrow \, 3x+4y=5\).


Equação vetorial

Considerando a mesma reta, \(\vec {\bf n} \cdot \overrightarrow{AP} =0\), onde \(\vec {\bf n}=(a,b)\), vejamos que o vetor \(\vec {\bf v}=(-b,a)\) tem a mesma direção dessa reta. De facto \(\vec {\bf n} \cdot \vec {\bf v}=(a,b) \cdot (-b,a)= -ab+ba=0\). Portanto a reta é também o conjunto de todos os pontos \(P=(x,y)\), tais que \(P-A=\overrightarrow{AP}\) é um múltiplo escalar de vetor \(\vec {\bf v}\). Isto é, \((P-A)=t \vec {\bf v}\).
\[\quad P \in \mathbb{R}^2: P=A+t\vec {\bf v} , \quad t \in \mathbb{R} \quad\]

A equação \(P=A+t\vec {\bf v}\) diz-se a equação vetorial da reta que passa no ponto \(A\) e é paralela ao vetor \(\vec {\bf v}\).

    

Equações paramétricas

Se \( \overrightarrow{AP} =(x-x_A,y-y_A)\), então, como \(\vec{\bf v}=(-b,a)\),

\(\overrightarrow{AP}=t \vec {\bf v} \, \Leftrightarrow \, (x-x_A,y-y_A)=t(-b,a) \, \Leftrightarrow \, x-x_A=-tb \wedge y-y_A=ta\), sendo assim equivalente ao sistema de duas equações seguinte:

\[ \quad \left\{\begin{array}{ll} x=x_A-tb & \\ & , t \in \mathbb{R} \\ y=y_A+ ta & \end{array} \right.\quad \]

Que se dizem equações paramétricas da reta referida. Quando o "tempo" \(t\) varia, elas representam o movimento de um ponto (partícula) que se desloca sobre a reta com movimento uniforme de vetor-velocidade \(\vec {\bf v}=(-b,a)\) e velocidade (escalar) \(v=\|\vec {\bf v}\|=\sqrt{a^2+b^2}\).

                Aplicação

Como calcular as equações paramétricas da reta que passa no ponto \(A=(2,-3)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec {\bf n}=(1,4)\)?

O vetor \(\vec {\bf v}=(-4,1)\) é perpendicular ao vetor \(\vec {\bf n}\) pois \(\vec {\bf n} \cdot \vec {\bf v}=(1,4) \cdot (-4,1)=-4+4=0\). Portanto, pretendemos as equações paramétricas da reta que passa em \(A=(2,-3)\) e é paralela ao vetor \(\vec {\bf v}=(-4,1)\). Se \(P=(x,y)\) um ponto genérico dessa reta, então \(\overrightarrow{AP}=P-A=(x,y)-(2,-3)=(x-2,y+3)\) é um múltiplo escalar do vetor \(\vec {\bf v}\), isto é, \(\overrightarrow{AP}=t\vec {\bf v}\), ou seja,

\((x-2,y+3)=t(-4,1) \, \Longleftrightarrow \, \left\{\begin{array}{ll} x=2-4t \\ y=-3+t \, , \quad t \in \mathbb{R}\end{array}\right.\)

Reta que passa por dois pontos

Equação vetorial

Pretendemos agora determinar a equação de uma reta que passa em dois pontos distintos. Temos então dois casos:

No plano, sejam \(A=(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\) esses dois pontos, queremos então determinar a equação da reta que passa por \(A\) e é paralela ao vetor \(\overrightarrow{AB}\). Se \(P=(x,y)\) é um ponto genérico dessa reta temos que,

\[\quad P=A+t\overrightarrow{AB}\, , \quad t \in \mathbb{R}\quad \]

que é chamada a equação vetorial da reta. Em coordenadas, \((x,y)=(x_A,y_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}\).


No espaço, considerando \(A=(x_A,y_A,z_A)\) e \(B=(x_B,y_B,z_B)\) os dois pontos pelos quais passa a reta a sua equação vetorial é:

\[(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}\].

                          Aplicação

Como calcular a equação vetorial da reta que passa pelos pontos \(A=(2,-1,0)\) e \(B=(-3,1,2)\)?

Consideramos \(P=(x,y,z)\) um ponto genérico dessa reta. A reta pretendida passa pelos pontos \(A\) e \(B\) por isso é uma reta paralela ao vetor \(\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,1,2)-(2,-1,0)=(-5,0,2)\). Portanto a equação vetorial dessa reta é dada por:

\(P=A+t\overrightarrow{AB} \, \Longleftrightarrow \, (x,y,z)=(2,-1,0)+t(-5,0,2) \, , \quad t \in \mathbb{R}\)

Fig.1 - Reta que passa por dois pontos (no espaço)

Equações paramétricas

Das equações vetoriais da reta anteriores podemos obter as equações paramétricas. Para o caso em que \(A\) e \(B\) são pontos em \(\mathbb{R}^2\) a equação vetorial da reta é equivalente a \(x=x_A+t(x_b-x_A) \, \wedge \, y=y_A+t(y_B-y_A)\), ou num sistema:

\[ \quad \left\{\begin{array}{ll} x=x_A+t(x_B-x_A) & \\ & , t \in \mathbb{R} \\ y=y_A+t(y_B-y_A) & \end{array} \right. \quad\]


Para o caso em que \(A\) e \(B\) são pontos em \(\mathbb{R}^3\) a equação vetorial da reta é equivalente a \(x=x_A+t(x_b-x_A) \, \wedge \, y=y_A+t(y_B-y_A) \, \wedge \, z=z_A+t(z_B-z_A)\), ou num sistema, considerando \(t \in \mathbb{R}\):

\[ \quad\left\{\begin{array}{l} x=x_A+t(x_B-x_A) \\ y=y_A+t(y_B-y_A) \\ z=z_A+t(z_B-z_A) \end{array} \right. \quad\]


Equação cartesiana

Simplificando os sistemas anteriores e eliminando o parâmetro \(t\), obtemos do primeiro sistema a equação cartesiana da reta no plano, que passa pelos pontos \(A=(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\):

\[\quad(y_B-y_A)(x-x_A)=(y-y_A)(x_B-x_A)\quad\]
  • Se \(x_B-x_A=0\), então \(y_B-y_A \neq 0\), pois os dois pontos são distintos, e a reta é uma reta vertical de equação \(x=x_A\).
  • Se \(y_B-y_A=0\), então \(x_B-x_A \neq 0\), pois os dois pontos são distintos, e a reta é uma reta horizontal de equação \(y=y_A\).
  • Se \(x_B-x_A \neq 0\) e \(y_B-y_A \neq 0\), a reta tem por equação:

\[y=y_A+\frac{(y_B-y_A)}{(x_B-x_A)}(x-x_A)\]

Do segundo sistema obtemos as equações cartesianas (também chamadas equações homogéneas) da reta que passa em \(A\) e \(B\) no espaço, com \(A, B \in \mathbb{R}^3\).

\[\quad\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}\quad\]

Equação reduzida de uma reta

Inclinação e declive da reta

A inclinação de uma reta é o menor ângulo positivo \(\alpha\) que a reta faz com a parte positiva do eixo dos \(xx\).

Considerando dois pontos dessa reta, \(A(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\), o declive da reta, usualmente denominado por \(m\), é o quociente entre a diferença das ordenadas e a diferença das abcissas de dois pontos dessa mesma reta, ou seja,

\[m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\]

Se \(x_B-x_A \neq 0\) e \(y_B-y_A\neq 0\) então temos uma reta não vertical e não horizontal. Se \(x_B-x_A=0\) a reta é vertical e diz-se que o seu declive é infinito. Já se \(y_B-y_A=0\) temos uma reta horizontal (com declive nulo).

Através da trigonometria, o declive de uma reta é diretamente associado à inclinação da mesma pois, pela definição de tangente de um ângulo concluímos que o declive da reta é igual à tangente da inclinação da mesma, ou seja:

\[m=\tan \alpha\].

Fig.2 - Inclinação \(\alpha\) e declive de uma reta.

Equação \(y=mx+b\)

A equação reduzida de uma reta no plano é definida através da expressão,

\[y=mx+b\]

em que \(m\) é o declive da reta e \(b\) a ordenada na origem. O valor \(b\) é assim a ordenada do ponto de interseção da reta considerada com o eixo dos \(yy\), ponto \((0,b)\), ou o valor que se obtém para \(y\) quando substituímos o valor de \(x\) por zero.


Aplicação

Como calcular a equação reduzida da reta que passa pelos pontos \(A=(2,-1)\) e \(B=(4,6)\)?

Começamos por determinar o declive da reta: \(\displaystyle m=\frac{6-(-1)}{4-2} \, \Leftrightarrow \, m=\frac{7}{2}\). Temos então que \(\displaystyle y=\frac{7}{2}x+b\). Para determinarmos o valor de \(b\) basta substituirmos na expressão anterior os valores de \(x\) e \(y\) pelas coordenadas de um dos pontos. Substituindo pelas coordenadas de \(A\) obtemos:

\(\displaystyle -1=\frac{7}{2}\times 2 +b \, \Leftrightarrow \, b=-1-7=-8\).

Concluímos então que a equação da reta pretendida é \(\displaystyle y=\frac{7}{2}x-8\).





Criada em 3 de Junho de 2013
Revista em 12 de Junho de 2013
Aceite pelo editor em 30 de Junho de 2017