Diferenças entre edições de "Ângulo (medidas)"

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<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b><font color="#003600" >Não citável</font></span> <span style="font-size:8pt"><font color="red">'''''Esta página ainda não foi aprovada.'''''</font></span>
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<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2018) Ângulo (medidas), ''[http://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.]'', V6(4):075<br>
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<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar_e_Angela|João Nuno Tavares e Ângela Geraldo]]</i></span><br>
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<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
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<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
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<span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>Colocar nome do editor</i></span>
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<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[http://doi.org/10.24927/rce2018.075 http://doi.org/10.24927/rce2018.075]]</i></span><br>
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<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/pdf/2018/075/" target="_blank">
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                <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html>
 
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==Ângulos orientados==
 
  
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===Noção de ângulo===
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==Ângulos  e rotações==
  
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Uma semi-reta de origem O, pertencente a um dado plano, pode mover-se nesse plano rodando em torno de O em dois sentidos: ou no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio que será o '''sentido positivo''', ou no sentido oposto, '''sentido negativo'''.
 
−
Quando a semi-reta partindo da posição a, roda em torno da origem O acabando por ocupar a posição b, diz-se que descreveu o ângulo ∠a,b. À semi-reta a chamamos ''lado origem'' e à semi-reta b ''lado extremidade''. O ponto O é o ''vértice'' do ângulo.
 
  
−
Assim, o ângulo é <u>positivo</u> ou <u>negativo</u>, conforme o sentido de rotação que leva o lado origem a ocupar a posição lado extremidade seja positivo ou negativo. Nestas condições, a ordem pela qual se consideram lados do ângulo não é indiferente tendo o ângulo um sentido (''ângulo orientado'').
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<html>Quando um ponto P se move sobre uma circunferência, de centro O, rodando no sentido
 +
        positivo
 +
        (anti-horário), partindo de uma certa posição inicial Q, quando ele regressa a Q, após descrever uma
 +
        volta
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        inteira, diz-se que o ponto \(P\) (ou a semi-recta OP, se preferir) descreveu um <strong>ângulo (de
 +
            rotação)</strong> (orientado) igual a \(360º\).
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<p>&nbsp;</p>
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<p>&nbsp;</p>
  
−
Quando a semi-reta \(a\) descreve uma rotação em torno da origem \(O\) de tal forma que vem a ocupar a posição inicial, efetuando assim uma revolução completa num dado sentido, dizemos que essa semi-reta descreveu o ângulo de um giro, ou mais simplesmente, um '''ângulo giro'''. E como nada impede que esse movimento de rotação continue (no sentido positivo ou negativo), concebem-se assim ângulos (positivos ou negativos) que podem exceder um ou mais ângulos giros.
+
Se o ponto descreve um quarto de volta, o ângulo (de rotação) será igual a
 +
        \(\displaystyle\frac{1}{4}\times 360º=90º\). Um outro exemplo, \(300º\) representa o valor do ângulo
 +
        correspondente
 +
        à rotação positiva de P de 300360=1518 de volta inteira.</p>
 +
    <p class='mainText'>Quando \(P\) roda no sentido negativo (horário), os ângulos são negativos.</p>
 +
    <p class='mainText'>Não há qualquer razão matemática para que uma volta inteira corresponda a 360º, ou, de outra
 +
        forma, para que a unidade de medida seja o grau = 1360 de volta inteira. De facto a
 +
        única razão é de carácter histórico - é assim desde a antiguidade clássica. Como veremos, existe uma unidade de
 +
        medida mais apropriada do ponto de vista matemático - o</html> [[Radiano|radiano]].
  
−
Portanto, um par ordenado (a,b) de duas semi-retas com a mesma origem O corresponde a um ser geométrico múltiplo chamado '''ângulo trigonométrico''', constituído por um número infinito de determinações, cada uma das quais se refere à amplitude e sentido da rotação que leva o lado origem a coincidir com o lado extremidade.
 
  
−
===Medida dos ângulos===
 
  
−
Se \(A\) e \(U\) forem duas grandezas (da mesma espécie contínua) e se \(U\) for não nula, existe um e um só número real \(\alpha\) tal que, \(A=\alpha U\).
+
<html>
−
A este número \(\alpha\) chama-se a medida de \(A\) relativamente a \(U\). Determinar \(\alpha\) é ''medir'' a grandeza \(A\) ''tomando para unidade'' a grandeza \(U\).
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<br>
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<center>
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    <figure class="image-medium">
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        <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2018-075-01.png" width="450">
 +
        <figcaption>FIGURA 1. Ângulos de rotação.</figcaption>
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    </figure>
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</center>
 +
    <br>
 +
<p>
 +
Mas o que significa um <strong>ângulo (de rotação)</strong> de \(500º\)? Como
 +
        \(5800º=360º+140º\), significa que o ponto P deu uma volta inteira, no sentido positivo, a que correspondem
 +
        \(360º\), e depois continuou a rodar descrevendo um ângulo (de rotação) correspondente à rotação positiva de
 +
        \(P\) de \(\displaystyle\frac{140}{360}= \displaystyle\frac{7}{18}\) de volta inteira (veja a figura).</p>
  
−
Considerando agora os ângulos orientados, podemos afirmar que dados dois ângulos A e U (U não nulo), existe um e um só número real m tal que, A=mU. O número m representa assim a medida do ângulo A relativamente à unidade U.
+
    <p class='mainText'>Podemos pois definir ângulos de rotação, ou mais simplesmente, ângulos de qualquer valor,
 +
        racional ou irracional, positivo ou negativo, medidos em graus.</html>
  
−
Fixada a unidade U estabelece-se assim uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos ''ângulos orientados'' e  conjunto dos ''números reais'' (medidas dos ângulos). Esta correspondência é tal que a relação de igualdade, a relação de grandeza e a adição de '''ângulos''' se traduz, respetivamente, na relação de igualdade, na relação de grandeza e na adição de '''números reais'''.
 
  
−
A escolha da unidade U é arbitrária, mas habitualmente usa-se um dos três sistemas de unidades definidos em seguida.
 
  
  
−
==Sistema sexagesimal==
+
==Ângulos orientados==
  
−
No sistema sexagesimal admite-se como unidade fundamental o '''grau'''. Um grau corresponde a 190 do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.
+
===Noção de ângulo===
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+
{| border="0" cellpadding="5"
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Assim sendo, um ângulo reto mede 90º (90 graus) e um ângulo giro mede 360º (360 graus) pois 90×4=360.
+
−
{| class="wikitable"  
+
 
|-  
 
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| Como submúltiplos do grau usam-se:
+
| <html>Uma semi-reta de origem O, pertencente a um dado plano, pode mover-se nesse plano rodando em
 +
        torno de O em dois sentidos: ou no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio que será o
 +
        sentido positivo, ou no sentido oposto, sentido negativo.</p>
 +
    <p class='mainText'>Quando a semi-reta partindo da posição a, roda em torno da origem O acabando por ocupar
 +
        a posição b, diz-se que descreveu o ângulo ∠a,b. À semi-reta a chamamos <em>lado origem</em> e
 +
        à
 +
        semi-reta b <em>lado extremidade</em>. O ponto O é o <em>vértice</em> do ângulo.</p>
 +
    <p class='mainText'>Assim, o ângulo é positivo ou negativo, conforme o sentido de rotação que leva o lado origem a
 +
        ocupar a posição lado extremidade seja positivo ou negativo. Nestas condições, a ordem pela qual se consideram
 +
        lados do ângulo não é indiferente tendo o ângulo um sentido (<strong>ângulo orientado</strong>).
 +
<p>
 +
Quando a semirreta <em>a</em> descreve uma rotação em torno da origem <em>O</em> de tal forma
 +
        que vem a ocupar a posição inicial, efetuando assim uma revolução completa num dado sentido, dizemos que essa
 +
        semirreta descreveu o ângulo de um giro, ou mais simplesmente, um <strong>ângulo giro</strong>. E como nada
 +
        impede que esse movimento de rotação continue (no sentido positivo ou negativo), concebem-se assim ângulos
 +
        (positivos ou negativos) que podem exceder um ou mais ângulos giros.
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<p>
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Portanto, um par ordenado (<em>a</em>,<em>b</em>) de duas semirretas com a mesma origem
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        <em>O</em> corresponde a um ser geométrico múltiplo chamado <strong>ângulo trigonométrico</strong>, constituído
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        por um número infinito de determinações, cada uma das quais se refere à amplitude e sentido da rotação que leva
 +
        o lado origem a coincidir com o lado extremidade.
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</html>
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<html><iframe scrolling="no" title="Medida dos Ângulos" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/bmks7sze/width/775/height/435/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="230px" height="280x" style="border:0px;"> </iframe></html>
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<html><iframe scrolling="no" title="Medida de Ângulo" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ffxaunfj/width/775/height/435/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="230px" height="280px" style="border:0px;"> </iframe></html>
 +
|}
  
−
O '''minuto sexagesimal''' (1′) corresponde a 160 do grau, ou seja, 60 minutos sexagesimais são 1 grau.
+
===Medida dos ângulos===
  
−
O '''segundo sexagesimal''' \((1' ')\) corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{60}\) do minuto e portanto \(\displaystyle \frac{1}{3600}\) do grau, ou seja, 3600 segundos sexagesimais são 1 grau.
+
<html>
 +
Se \(A\) e \(U\) forem duas grandezas (da mesma espécie contínua) e se U for não nula,
 +
        existe um e um só número real α tal que, A=αU.
 +
        A este número \(\alpha\) chama-se a medida de \(A\) relativamente a \(U\). Determinar α é medir a
 +
        grandeza A tomando para unidade a grandeza U.</p>
 +
    <p class='mainText'>Considerando agora os ângulos orientados, podemos afirmar que dadas duas determinações \(A\) e
 +
        \(U\), (\(U\) não nulo), de dois ângulos, existe um e um só número real m tal que, A=mU. O número m
 +
        representa assim a medida da determinação do ângulo A relativamente à unidade U.</p>
 +
    <p class='mainText'>Fixada a unidade U estabelece-se assim uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos
 +
        <em>ângulos orientados</em> e conjunto dos <em>números reais</em> (medidas dos ângulos). Esta correspondência é
 +
        tal
 +
        que a relação de igualdade, a relação de grandeza e a adição de <strong>ângulos</strong> se traduz,
 +
        respetivamente, na relação de igualdade, na relação de grandeza e na adição de <strong>números reais</strong>.
 +
    </p>
 +
    <p class='mainText'>A escolha da unidade U é arbitrária, mas habitualmente usa-se um dos três sistemas de
 +
        unidades definidos em seguida.
 +
</html>
  
−
O '''décimo do segundo''', o '''centésimo do segundo''' etc.  
+
 
 +
==Sistema sexagesimal==
 +
 
 +
<html>No sistema sexagesimal admite-se como unidade fundamental o <strong>grau</strong>. Um grau
 +
        corresponde a 190 do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.</p>
 +
    <p class='mainText'>Assim sendo, um ângulo reto mede 90º (90 graus) e um ângulo giro mede 360º (360 graus)
 +
        pois 90×4=360.<p></html>
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{| class="wikitable"
 +
|-
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| <html>Como submúltiplos do grau usam-se:</p>
 +
    <p class='mainText'>O <strong>minuto sexagesimal</strong> \((1')\) corresponde a 160 do
 +
        grau, ou seja, 60 minutos sexagesimais são 1 grau.</p>
 +
    <p class='mainText'>O <strong>segundo sexagesimal</strong> \((1' ')\) corresponde a 160
 +
        do minuto e portanto 13600 do grau, ou seja, 3600 segundos sexagesimais são 1 grau.
 +
    </p>
 +
    <p class='mainText'>O <strong>décimo do segundo</strong>, o <strong>centésimo do segundo</strong> etc.</p><p></html>
 
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{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align: center;" align="right"
 
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align: center;" align="right"
Linha 64: Linha 142:
 
<span style="color:green">'''Exemplo'''</span>
 
<span style="color:green">'''Exemplo'''</span>
  
−
Um ângulo composto de 30 graus, 12 minutos, 8 segundos e 2 centésimos que simbolicamente podemos representar por 30º 12′ 8″ ,02
+
<html><p class='mainText'>Um ângulo composto de 30 graus, 12 minutos, 8 segundos e 2 centésimos que simbolicamente podemos
−
 
+
        representar por 30º 12′ 8″ ,02 tem uma medida em graus de \(\displaystyle
−
tem uma medida em graus de 30+1260+83600+2360×100≃30,2023.
+
        30+\frac{12}{60}+\frac{8}{3600}+\frac{2}{360\times 100} \simeq 30,2023\).</p>
−
 
+
    <p class='mainText'>Para indicar a medida deste ângulo usamos habitualmente a notação 30º 12′ 8″
−
Para indicar a medida deste ângulo usamos habitualmente a notação 30º 12′ 8″ ,02 para nos referirmos ao número anterior.
+
        ,02 para nos referirmos ao número anterior.</p><p></html>
−
 
+
  
 
==Sistema centesimal==
 
==Sistema centesimal==
  
−
No sistema centesimal admite-se como unidade fundamental o '''grado'''. Um grado corresponde a 1100 do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.  
+
<html><p class='mainText'>No sistema centesimal admite-se como unidade fundamental o <b>grado</b>. Um grado corresponde a
 +
        1100 do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.</p>
 +
    <p class='mainText'>Assim sendo, um ângulo reto mede 100g (100 grados) e um ângulo giro mede 400g (400
 +
        grados) pois 100×4=400).<p></html>
  
−
Assim sendo, um ângulo reto mede 100g (100 grados) e um ângulo giro mede 400g (400 grados) pois 100×4=400.
 
 
{| class="wikitable"  
 
{| class="wikitable"  
 
|-  
 
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| Como submúltiplos do grado usam-se:
+
| <html><p class='mainText'>Como submúltiplos do grado usam-se:</p>
−
 
+
    <p class='mainText'>O <strong>minuto centesimal</strong> (1‵) corresponde a 1100
−
O '''minuto centesimal''' (1‵) corresponde a 1100 do grau, ou seja, 100 minutos centesimais são 1 grado.
+
        do grau, ou seja, 100 minutos centesimais são 1 grado.</p>
−
 
+
    <p class='mainText'>O <strong>segundo centesimal</strong> (1‶) corresponde a 1100 do
−
O '''segundo centesimal''' (1‶) corresponde a 1100 do minuto e portanto 110000 do grado, ou seja, 10000 segundos centesimais são 1 grado.
+
        minuto e portanto 110000 do grado, ou seja, 10000 segundos centesimais são 1 grado.
−
 
+
    </p>
−
O '''décimo do segundo centesimal''', o '''centésimo do segundo centesimal''' etc.  
+
    <p class='mainText'>O <strong>décimo do segundo centesimal</strong>, o <strong>centésimo do segundo
 +
        centesimal</strong> etc.</p><p></html>
 
||  
 
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{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align: center;" align="right"
 
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align: center;" align="right"
Linha 105: Linha 185:
 
<span style="color:green">'''Exemplo'''</span>
 
<span style="color:green">'''Exemplo'''</span>
  
−
Um ângulo composto de 20 grados, 8 minutos e 24 segundos que simbolicamente podemos representar por 20g 8‵ 24‶
+
<html>Um ângulo composto de 20 grados, 8 minutos e 24 segundos que simbolicamente podemos representar
−
 
+
        por 20g 8‵ 24‶ tem uma medida em grados de \(\displaystyle
−
tem uma medida em grados de 20+8100+2410000=20,0824.
+
        20+\frac{8}{100}+\frac{24}{10000}=20,0824\).</p>
−
 
+
    <p class='mainText'>Para indicar a medida deste ângulo no sistema centesimal usamos habitualmente a notação
−
Para indicar a medida deste ângulo no sistema centesimal usamos habitualmente a notação 20g 8‵ 24‶ para nos referirmos ao número anterior.
+
        20g 8‵ 24‶ para nos referirmos ao número anterior.<p></html>
−
 
+
  
 
==Sistema circular==
 
==Sistema circular==
  
−
No sistema circular a unidade de medida é o [[Radiano|radiano]]. Como sabemos um radiano é a medida de um ângulo ao centro definido num círculo por um arco com o mesmo comprimento que o raio do círculo. Sabemos também que existe proporcionalidade direta entre a medida de um ângulo ao centro e o comprimento do arco correspondente. Considerando o ângulo da figura 1 podemos então estabelecer que:
+
<html>
−
 
+
<br>
−
\[\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo giro}}=\frac{\mbox{comprimento do arco } AB}{\mbox{comprimento da circunferência}}\]
+
    <p class='mainText'>No sistema circular a unidade de medida é o radiano.
−
 
+
        Como sabemos um radiano é a medida de um ângulo ao centro definido num círculo por um arco com o mesmo
−
Como o comprimento do arco AB é igual ao raio do círculo, resulta que
+
        comprimento que o raio do círculo. Sabemos também que existe proporcionalidade direta entre a medida de um
−
 
+
        ângulo ao centro e o comprimento do arco correspondente. Considerando o ângulo da FIGURA 1 podemos então
−
medida de um radianomedida de um ângulo giro=r2πr=12π
+
        estabelecer que:</p>
−
 
+
    <br><center>
−
 
+
    <p class='mainText centered'>\[\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo
−
Esta relação mostra que a medida de um '''ângulo giro''' é de 2π radianos.
+
        giro}}=\frac{\mbox{comprimento do arco } AB}{\mbox{comprimento da circunferência}}\]</p></center>
−
Estabelecendo a relação com os dois sistemas de unidades anteriores temos que:
+
    <br>
−
 
+
    <p class='mainText'>Como o comprimento do arco AB é igual ao raio do círculo, resulta que</p>
−
\(360º=2\pi \mbox{ radianos}\) e \(400^{g}=2\pi \mbox{ radianos}\)
+
    <br>
−
 
+
    <p class='mainText centered'>\[\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo giro}}=\frac{r}{2\pi
−
Daqui resulta que,
+
        r}=\frac{1}{2\pi}\]</p>
−
 
+
    <br>
−
\(\displaystyle 1 \mbox{ radiano}={\left(\frac{360}{2\pi}\right)}^{\circ} \simeq \, 57º \,\, 17' \,\, 45' '\)
+
    <p class='mainText'>Esta relação mostra que a medida de um <strong>ângulo giro</strong> é de 2π radianos.
−
 
+
        Estabelecendo a relação com os dois sistemas de unidades anteriores temos que:</p>
−
\(\displaystyle 1 \mbox{ radiano}=\left(\frac{400}{2\pi}\right)^{g} \simeq \, 63º \,\, 66^{‵} \,\, 20‶ \)
+
    <br><center>
 +
    <p class='mainText centered'>360º=2π radianos e 400g=2π radianos</p></center>
 +
    <br>
 +
    <p class='mainText'>Daqui resulta que,</p>
 +
    <br><center>
 +
    <p class='mainText centered'>\(\displaystyle 1 \mbox{ radiano}={\left(\frac{360}{2\pi}\right)}^{\circ} \simeq \, 57º
 +
        \,\, 17' \,\, 45' '\)</p>
 +
    <p class='mainText centered'>\(\displaystyle 1 \mbox{ radiano}=\left(\frac{400}{2\pi}\right)^{g} \simeq \, 63,6620^g \)</p></center>
 +
    <br></html>
  
  
 
==Passagem de um sistema de unidades para outro==
 
==Passagem de um sistema de unidades para outro==
  
−
Consideremos um ângulo ∠a,b qualquer e designemos por s, c e d as suas medidas nos sistemas sexagesinal, centesimal e circular, respetivamente. Necessitamos de estabelecer uma relação destas medidas com medidas já conhecidas, como por exemplo, a medida de um ''ângulo raso'', que é de 180º no sistema sexagesimal, de 200g no centesimal e de \(\pi \mbox{ rad}\) no circular.
+
<html><br>
−
Como a razão entre grandezas da mesma espécie é o quociente das suas medidas relativamente a uma unidade comum, resulta que a razão entre o ângulo ∠a,b e o ângulo raso pode ser expressa pelos números s180, c200 ou por dπ.
+
    <p class='mainText'>Consideremos um ângulo ∠a,b qualquer e designemos por s, c e d as suas
−
 
+
        medidas nos sistemas sexagesinal, centesimal e circular, respetivamente. Necessitamos de estabelecer uma relação
−
Como os três números anteriores são iguais então temos que:
+
        destas medidas com medidas já conhecidas, como por exemplo, a medida de um <i>ângulo raso</i>, que é de 180º
 +
        no sistema sexagesimal, de 200g no centesimal e de π rad no circular.
 +
        Como a razão entre grandezas da mesma espécie é o quociente das suas medidas relativamente a uma unidade comum,
 +
        resulta que a razão entre o ângulo ∠a,b e o ângulo raso pode ser expressa pelos números
 +
        s180, c200 ou por dπ.</p>
 +
    <br>
 +
    <p class='mainText'>Como os três números anteriores são iguais então temos que:</p><p></html>
  
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
 
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
Linha 152: Linha 245:
 
<span style="color:green">'''Exemplo'''</span>
 
<span style="color:green">'''Exemplo'''</span>
  
−
Cálculo das medidas do ângulo 28º 48′ nos sistemas centesimal e circular.
+
<html><p class='mainText'>Cálculo das medidas do ângulo 28º 48′ nos sistemas centesimal e circular.</p>
 +
    <p class='mainText'>Usando a relação anterior temos que s=28,8 pois 48′=0,8º,então</p>
 +
    <br>
 +
    <p class='mainText centered'>\(\displaystyle \frac{28,8}{180}=\frac{c}{200} \, \Leftrightarrow \, c=\frac{200 \times
 +
        28,8}{180}=32\)</p>
 +
    <br>
 +
    <p class='mainText'>Da mesma forma determinamos a medida do ângulo no sistema circular:</p>
 +
    <br>
 +
    <p class='mainText centered'>\(\displaystyle \frac{28,8}{180}=\frac{d}{\pi} \, \Leftrightarrow \, d=\frac{\pi \times
 +
        28,8}{180}=\frac{28,8}{180}\pi=\frac{4}{25}\pi \simeq 0,503\)</p>
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    <br>
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    <p class='mainText'>Logo, o ângulo 28º 48′ mede 32g no sistema centesimal e aproximadamente \(0,503
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        \mbox{ rad}\) no sistema circular.</p><p></html>
  
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Usando a relação anterior temos que \(s=28,8\) pois \(48'=0,8º\),então
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==Notas históricas==
  
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28,8180=c200⟺c=200×28,8180=32
 
  
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Da mesma forma determinamos a medida do ângulo no sistema circular
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    <p class='mainText'>Dos três sistemas de unidade descritos anteriormente é o sistema circular que parece suscitar
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        maior interesse <em>teórico</em> pela quantidade de assuntos matemáticos em que intervém. Já os outros dois
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        sistemas, sistema sexagesimal e sistema centesimal, são mais utilizados nas aplicações práticas mais
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        elementares.</p>
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    <p class='mainText'>O <strong>sistema sexagesimal</strong> será, dos três sistemas de unidades, o mais antigo, como
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        podemos ler na <em>Enciclopédia das Matemáticas Elementares</em> (Berzolari, Milão, 1937, Vol.II p.545), <em>«O
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            sistema sexagesimal é de origem remotíssima. Os Babilónios dividiam a circunferência em 360 partes iguais e
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            esta subdivisão transmitiu-se aos Gregos e Árabes e chegou até nós»</em>.</p>
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    <p class='mainText'>O <strong>sistema centesimal</strong> parece datar do séc.XV. O notável geómetra H.Briggs
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        (1556-1630) utilizou a subdivisão centesimal na construção duma tábua trigonométrica. Mais tarde, o matemático
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        francês J.L.Lagrange (1736-1813) mostrou-se defensor da substituição do sistema sexagesimal pelo sistema
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        centesimal de unidades de medida de ângulo. Apesar do sistema centesimal ser mais cómodo a nível de cálculo, uma
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        vez que se usam medidas expressas em números decimais, ainda hoje podemos verificar que o sistema mais utilizado
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        e mais comum é o sistema sexagesimal.</p><p></html>
  
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\(\displaystyle \frac{28,8}{180}=\frac{d}{\pi} \, \Longleftrightarrow \, d=\frac{\pi \times 28,8}{180}=\frac{28,8}{180}\pi=\frac{4}{25}\pi \simeq 0,503\)
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==Referências==
  
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# J. Jorge G. Calado (1974) ''"Compêndio de Trigonometria"'' 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.
  
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Logo, o ângulo 28º 48′ mede 32g no sistema centesimal e aproximadamente 0,503 rad no sistema circular.
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Recursos relacionados disponíveis na [http://www.casadasciencias.org Casa das Ciências]:<br>
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# [https://www.casadasciencias.org/recurso/7498 Construção de Triângulos];<br>
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# [https://www.casadasciencias.org/recurso/7238 Ângulos e Triângulos].<br>
  
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==Notas históricas==
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---- <br>Criada em 17 de Fevereiro de 2013<br> Revista em 23 de Maio de 2018<br> Aceite pelo editor em 4 de Dezembro de 2018<br>
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[[Category:Matemática|Angulo (medidas)]]
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==Referências==
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# J. Jorge G. Calado (1974) ''"Compêndio de Trigonometria"'' 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.
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# Elemento 2
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# Elemento 3
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Edição actual desde as 16h51min de 19 de outubro de 2020

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2018) Ângulo (medidas), Rev. Ciência Elem., V6(4):075
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2018.075]
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Índice

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Ângulos e rotações

Quando um ponto P se move sobre uma circunferência, de centro O, rodando no sentido positivo (anti-horário), partindo de uma certa posição inicial Q, quando ele regressa a Q, após descrever uma volta inteira, diz-se que o ponto P (ou a semi-recta OP, se preferir) descreveu um ângulo (de rotação) (orientado) igual a 360º.

 

 

Se o ponto descreve um quarto de volta, o ângulo (de rotação) será igual a 14×360º=90º. Um outro exemplo, 300º representa o valor do ângulo correspondente à rotação positiva de P de 300360=1518 de volta inteira.

Quando P roda no sentido negativo (horário), os ângulos são negativos.

Não há qualquer razão matemática para que uma volta inteira corresponda a 360º, ou, de outra forma, para que a unidade de medida seja o grau = 1360 de volta inteira. De facto a única razão é de carácter histórico - é assim desde a antiguidade clássica. Como veremos, existe uma unidade de medida mais apropriada do ponto de vista matemático - o radiano.



FIGURA 1. Ângulos de rotação.

Mas o que significa um ângulo (de rotação) de 500º? Como 5800º=360º+140º, significa que o ponto P deu uma volta inteira, no sentido positivo, a que correspondem 360º, e depois continuou a rodar descrevendo um ângulo (de rotação) correspondente à rotação positiva de P de 140360=718 de volta inteira (veja a figura).

Podemos pois definir ângulos de rotação, ou mais simplesmente, ângulos de qualquer valor, racional ou irracional, positivo ou negativo, medidos em graus.



Ângulos orientados

Noção de ângulo

Uma semi-reta de origem O, pertencente a um dado plano, pode mover-se nesse plano rodando em torno de O em dois sentidos: ou no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio que será o sentido positivo, ou no sentido oposto, sentido negativo.

Quando a semi-reta partindo da posição a, roda em torno da origem O acabando por ocupar a posição b, diz-se que descreveu o ângulo ∠a,b. À semi-reta a chamamos lado origem e à semi-reta b lado extremidade. O ponto O é o vértice do ângulo.

Assim, o ângulo é positivo ou negativo, conforme o sentido de rotação que leva o lado origem a ocupar a posição lado extremidade seja positivo ou negativo. Nestas condições, a ordem pela qual se consideram lados do ângulo não é indiferente tendo o ângulo um sentido (ângulo orientado).

Quando a semirreta a descreve uma rotação em torno da origem O de tal forma que vem a ocupar a posição inicial, efetuando assim uma revolução completa num dado sentido, dizemos que essa semirreta descreveu o ângulo de um giro, ou mais simplesmente, um ângulo giro. E como nada impede que esse movimento de rotação continue (no sentido positivo ou negativo), concebem-se assim ângulos (positivos ou negativos) que podem exceder um ou mais ângulos giros.

Portanto, um par ordenado (a,b) de duas semirretas com a mesma origem O corresponde a um ser geométrico múltiplo chamado ângulo trigonométrico, constituído por um número infinito de determinações, cada uma das quais se refere à amplitude e sentido da rotação que leva o lado origem a coincidir com o lado extremidade.

Medida dos ângulos

Se A e U forem duas grandezas (da mesma espécie contínua) e se U for não nula, existe um e um só número real α tal que, A=αU. A este número α chama-se a medida de A relativamente a U. Determinar α é medir a grandeza A tomando para unidade a grandeza U.

Considerando agora os ângulos orientados, podemos afirmar que dadas duas determinações A e U, (U não nulo), de dois ângulos, existe um e um só número real m tal que, A=mU. O número m representa assim a medida da determinação do ângulo A relativamente à unidade U.

Fixada a unidade U estabelece-se assim uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos ângulos orientados e conjunto dos números reais (medidas dos ângulos). Esta correspondência é tal que a relação de igualdade, a relação de grandeza e a adição de ângulos se traduz, respetivamente, na relação de igualdade, na relação de grandeza e na adição de números reais.

A escolha da unidade U é arbitrária, mas habitualmente usa-se um dos três sistemas de unidades definidos em seguida.


Sistema sexagesimal

No sistema sexagesimal admite-se como unidade fundamental o grau. Um grau corresponde a 190 do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.

Assim sendo, um ângulo reto mede 90º (90 graus) e um ângulo giro mede 360º (360 graus) pois 90×4=360.

Como submúltiplos do grau usam-se:

O minuto sexagesimal (1′) corresponde a 160 do grau, ou seja, 60 minutos sexagesimais são 1 grau.

O segundo sexagesimal (1″) corresponde a 160 do minuto e portanto 13600 do grau, ou seja, 3600 segundos sexagesimais são 1 grau.

O décimo do segundo, o centésimo do segundo etc.
Submúltiplos do grau Um grau
Minutos 60
Segundos 3600
Décimos de segundo 36000
Centésimos do segundo 360000
… …

Exemplo

Um ângulo composto de 30 graus, 12 minutos, 8 segundos e 2 centésimos que simbolicamente podemos representar por 30º 12′ 8″ ,02 tem uma medida em graus de 30+1260+83600+2360×100≃30,2023.

Para indicar a medida deste ângulo usamos habitualmente a notação 30º 12′ 8″ ,02 para nos referirmos ao número anterior.

Sistema centesimal

No sistema centesimal admite-se como unidade fundamental o grado. Um grado corresponde a 1100 do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.

Assim sendo, um ângulo reto mede 100g (100 grados) e um ângulo giro mede 400g (400 grados) pois 100×4=400).

Como submúltiplos do grado usam-se:

O minuto centesimal (1‵) corresponde a 1100 do grau, ou seja, 100 minutos centesimais são 1 grado.

O segundo centesimal (1‶) corresponde a 1100 do minuto e portanto 110000 do grado, ou seja, 10000 segundos centesimais são 1 grado.

O décimo do segundo centesimal, o centésimo do segundo centesimal etc.
Submúltiplos do grado Um grado
Minutos 100
Segundos 10000
Décimos de segundo centesimal 100000
Centésimos do segundo centesimal 1000000
… …

Exemplo

Um ângulo composto de 20 grados, 8 minutos e 24 segundos que simbolicamente podemos representar por 20g 8‵ 24‶ tem uma medida em grados de 20+8100+2410000=20,0824.

Para indicar a medida deste ângulo no sistema centesimal usamos habitualmente a notação 20g 8‵ 24‶ para nos referirmos ao número anterior.

Sistema circular


No sistema circular a unidade de medida é o radiano. Como sabemos um radiano é a medida de um ângulo ao centro definido num círculo por um arco com o mesmo comprimento que o raio do círculo. Sabemos também que existe proporcionalidade direta entre a medida de um ângulo ao centro e o comprimento do arco correspondente. Considerando o ângulo da FIGURA 1 podemos então estabelecer que:


medida de um radianomedida de um ângulo giro=comprimento do arco ABcomprimento da circunferência


Como o comprimento do arco AB é igual ao raio do círculo, resulta que


medida de um radianomedida de um ângulo giro=r2πr=12π


Esta relação mostra que a medida de um ângulo giro é de 2π radianos. Estabelecendo a relação com os dois sistemas de unidades anteriores temos que:


360º=2π radianos e 400g=2π radianos


Daqui resulta que,


1 radiano=(3602π)∘≃57º17′45″

1 radiano=(4002π)g≃63,6620g



Passagem de um sistema de unidades para outro


Consideremos um ângulo ∠a,b qualquer e designemos por s, c e d as suas medidas nos sistemas sexagesinal, centesimal e circular, respetivamente. Necessitamos de estabelecer uma relação destas medidas com medidas já conhecidas, como por exemplo, a medida de um ângulo raso, que é de 180º no sistema sexagesimal, de 200g no centesimal e de π rad no circular. Como a razão entre grandezas da mesma espécie é o quociente das suas medidas relativamente a uma unidade comum, resulta que a razão entre o ângulo ∠a,b e o ângulo raso pode ser expressa pelos números s180, c200 ou por dπ.


Como os três números anteriores são iguais então temos que:

s180=c200=dπ

Esta relação permite-nos, conhecendo a medida de um ângulo num dos sistemas, determinar a medida desse mesmo ângulo num dos outros dois sistemas de unidades.


Exemplo

Cálculo das medidas do ângulo 28º 48′ nos sistemas centesimal e circular.

Usando a relação anterior temos que s=28,8 pois 48′=0,8º,então


28,8180=c200⇔c=200×28,8180=32


Da mesma forma determinamos a medida do ângulo no sistema circular:


28,8180=dπ⇔d=π×28,8180=28,8180π=425π≃0,503


Logo, o ângulo 28º 48′ mede 32g no sistema centesimal e aproximadamente 0,503 rad no sistema circular.

Notas históricas


Dos três sistemas de unidade descritos anteriormente é o sistema circular que parece suscitar maior interesse teórico pela quantidade de assuntos matemáticos em que intervém. Já os outros dois sistemas, sistema sexagesimal e sistema centesimal, são mais utilizados nas aplicações práticas mais elementares.

O sistema sexagesimal será, dos três sistemas de unidades, o mais antigo, como podemos ler na Enciclopédia das Matemáticas Elementares (Berzolari, Milão, 1937, Vol.II p.545), «O sistema sexagesimal é de origem remotíssima. Os Babilónios dividiam a circunferência em 360 partes iguais e esta subdivisão transmitiu-se aos Gregos e Árabes e chegou até nós».

O sistema centesimal parece datar do séc.XV. O notável geómetra H.Briggs (1556-1630) utilizou a subdivisão centesimal na construção duma tábua trigonométrica. Mais tarde, o matemático francês J.L.Lagrange (1736-1813) mostrou-se defensor da substituição do sistema sexagesimal pelo sistema centesimal de unidades de medida de ângulo. Apesar do sistema centesimal ser mais cómodo a nível de cálculo, uma vez que se usam medidas expressas em números decimais, ainda hoje podemos verificar que o sistema mais utilizado e mais comum é o sistema sexagesimal.

Referências

  1. J. Jorge G. Calado (1974) "Compêndio de Trigonometria" 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.

Recursos relacionados disponíveis na Casa das Ciências:

  1. Construção de Triângulos;
  2. Ângulos e Triângulos.

Criada em 17 de Fevereiro de 2013
Revista em 23 de Maio de 2018
Aceite pelo editor em 4 de Dezembro de 2018

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