Diferenças entre edições de "Ângulo (medidas)"

Edição actual desde as 16h51min de 19 de outubro de 2020

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2018) Ângulo (medidas), Rev. Ciência Elem., V6(4):075
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2018.075]

Índice

[esconder]

1 Ângulos e rotações
2 Ângulos orientados
- 2.1 Noção de ângulo
- 2.2 Medida dos ângulos
3 Sistema sexagesimal
4 Sistema centesimal
5 Sistema circular
6 Passagem de um sistema de unidades para outro
7 Notas históricas
8 Referências

Ângulos e rotações

Quando um ponto $P$ se move sobre uma circunferência, de centro $O$ , rodando no sentido positivo (anti-horário), partindo de uma certa posição inicial $Q$ , quando ele regressa a $Q$ , após descrever uma volta inteira, diz-se que o ponto $P$ (ou a semi-recta $OP$ , se preferir) descreveu um ângulo (de rotação) (orientado) igual a $360º$ .

Se o ponto descreve um quarto de volta, o ângulo (de rotação) será igual a

$\displaystyle\frac{1}{4}\times 360º=90º$ . Um outro exemplo,

$300º$ representa o valor do ângulo correspondente à rotação positiva de P de

$\displaystyle\frac{300}{360}= \displaystyle\frac{15}{18}$ de volta inteira.

Quando $P$ roda no sentido negativo (horário), os ângulos são negativos.

Não há qualquer razão matemática para que uma volta inteira corresponda a $360º$ , ou, de outra forma, para que a unidade de medida seja o grau = $\displaystyle\frac{1}{360}$ de volta inteira. De facto a única razão é de carácter histórico - é assim desde a antiguidade clássica. Como veremos, existe uma unidade de medida mais apropriada do ponto de vista matemático - o radiano.

Mas o que significa um ângulo (de rotação) de $500º$ ? Como $5800º=360º+140º$ , significa que o ponto P deu uma volta inteira, no sentido positivo, a que correspondem $360º$ , e depois continuou a rodar descrevendo um ângulo (de rotação) correspondente à rotação positiva de $P$ de $\displaystyle\frac{140}{360}= \displaystyle\frac{7}{18}$ de volta inteira (veja a figura).

Podemos pois definir ângulos de rotação, ou mais simplesmente, ângulos de qualquer valor, racional ou irracional, positivo ou negativo, medidos em graus.

Ângulos orientados

Noção de ângulo

Uma semi-reta de origem

$O$ , pertencente a um dado plano, pode mover-se nesse plano rodando em torno de

$O$ em dois sentidos: ou no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio que será o sentido positivo, ou no sentido oposto, sentido negativo.

Quando a semi-reta partindo da posição $a$ , roda em torno da origem $O$ acabando por ocupar a posição $b$ , diz-se que descreveu o ângulo $\angle a,b$ . À semi-reta $a$ chamamos lado origem e à semi-reta $b$ lado extremidade. O ponto $O$ é o vértice do ângulo.

Assim, o ângulo é positivo ou negativo, conforme o sentido de rotação que leva o lado origem a ocupar a posição lado extremidade seja positivo ou negativo. Nestas condições, a ordem pela qual se consideram lados do ângulo não é indiferente tendo o ângulo um sentido (ângulo orientado).

Quando a semirreta a descreve uma rotação em torno da origem O de tal forma que vem a ocupar a posição inicial, efetuando assim uma revolução completa num dado sentido, dizemos que essa semirreta descreveu o ângulo de um giro, ou mais simplesmente, um ângulo giro. E como nada impede que esse movimento de rotação continue (no sentido positivo ou negativo), concebem-se assim ângulos (positivos ou negativos) que podem exceder um ou mais ângulos giros.

Portanto, um par ordenado (a,b) de duas semirretas com a mesma origem O corresponde a um ser geométrico múltiplo chamado ângulo trigonométrico, constituído por um número infinito de determinações, cada uma das quais se refere à amplitude e sentido da rotação que leva o lado origem a coincidir com o lado extremidade.

Medida dos ângulos

Se $A$ e $U$ forem duas grandezas (da mesma espécie contínua) e se $U$ for não nula, existe um e um só número real $\alpha$ tal que, $A=\alpha U$ . A este número $\alpha$ chama-se a medida de $A$ relativamente a $U$ . Determinar $\alpha$ é medir a grandeza $A$ tomando para unidade a grandeza $U$ .

Considerando agora os ângulos orientados, podemos afirmar que dadas duas determinações $A$ e $U$ , ( $U$ não nulo), de dois ângulos, existe um e um só número real $m$ tal que, $A=m U$ . O número $m$ representa assim a medida da determinação do ângulo $A$ relativamente à unidade $U$ .

Fixada a unidade $U$ estabelece-se assim uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos ângulos orientados e conjunto dos números reais (medidas dos ângulos). Esta correspondência é tal que a relação de igualdade, a relação de grandeza e a adição de ângulos se traduz, respetivamente, na relação de igualdade, na relação de grandeza e na adição de números reais.

A escolha da unidade $U$ é arbitrária, mas habitualmente usa-se um dos três sistemas de unidades definidos em seguida.

Sistema sexagesimal

No sistema sexagesimal admite-se como unidade fundamental o grau. Um grau corresponde a $\displaystyle \frac{1}{90}$ do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.

Assim sendo, um ângulo reto mede $90º$ (90 graus) e um ângulo giro mede $360º$ (360 graus) pois $90\times4=360$ .

Como submúltiplos do grau usam-se:

O minuto sexagesimal $(1')$ corresponde a $\displaystyle \frac{1}{60}$ do grau, ou seja, 60 minutos sexagesimais são 1 grau.

O segundo sexagesimal $(1' ')$ corresponde a $\displaystyle \frac{1}{60}$ do minuto e portanto $\displaystyle \frac{1}{3600}$ do grau, ou seja, 3600 segundos sexagesimais são 1 grau.

O décimo do segundo, o centésimo do segundo etc.

Submúltiplos do grau	Um grau
Minutos	60
Segundos	3600
Décimos de segundo	36000
Centésimos do segundo	360000
$\dots$	$\dots$

Exemplo

Um ângulo composto de 30 graus, 12 minutos, 8 segundos e 2 centésimos que simbolicamente podemos representar por $30º$ $12'$ $8' '$ $,02$ tem uma medida em graus de $\displaystyle 30+\frac{12}{60}+\frac{8}{3600}+\frac{2}{360\times 100} \simeq 30,2023$ .

Para indicar a medida deste ângulo usamos habitualmente a notação $30º$ $12'$ $8' '$ $,02$ para nos referirmos ao número anterior.

Sistema centesimal

No sistema centesimal admite-se como unidade fundamental o grado. Um grado corresponde a $\displaystyle \frac{1}{100}$ do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.

Assim sendo, um ângulo reto mede $100^{g}$ (100 grados) e um ângulo giro mede $400^{g}$ (400 grados) pois $100\times$ 4=400).

Como submúltiplos do grado usam-se:

O minuto centesimal $(1^{‵})$ corresponde a $\displaystyle \frac{1}{100}$ do grau, ou seja, 100 minutos centesimais são 1 grado.

O segundo centesimal $(1‶)$ corresponde a $\displaystyle \frac{1}{100}$ do minuto e portanto $\displaystyle \frac{1}{10000}$ do grado, ou seja, 10000 segundos centesimais são 1 grado.

O décimo do segundo centesimal, o centésimo do segundo centesimal etc.

Submúltiplos do grado	Um grado
Minutos	100
Segundos	10000
Décimos de segundo centesimal	100000
Centésimos do segundo centesimal	1000000
$\dots$	$\dots$

Exemplo

Um ângulo composto de 20 grados, 8 minutos e 24 segundos que simbolicamente podemos representar por $20^{g}$ $8^{‵}$ $24‶$ tem uma medida em grados de $\displaystyle 20+\frac{8}{100}+\frac{24}{10000}=20,0824$ .

Para indicar a medida deste ângulo no sistema centesimal usamos habitualmente a notação $20^{g}$ $8^{‵}$ $24‶$ para nos referirmos ao número anterior.

Sistema circular

No sistema circular a unidade de medida é o radiano. Como sabemos um radiano é a medida de um ângulo ao centro definido num círculo por um arco com o mesmo comprimento que o raio do círculo. Sabemos também que existe proporcionalidade direta entre a medida de um ângulo ao centro e o comprimento do arco correspondente. Considerando o ângulo da FIGURA 1 podemos então estabelecer que:

$\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo giro}}=\frac{\mbox{comprimento do arco } AB}{\mbox{comprimento da circunferência}}$

Como o comprimento do arco $AB$ é igual ao raio do círculo, resulta que

$\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo giro}}=\frac{r}{2\pi r}=\frac{1}{2\pi}$

Esta relação mostra que a medida de um ângulo giro é de $2\pi$ radianos. Estabelecendo a relação com os dois sistemas de unidades anteriores temos que:

$360º=2\pi \mbox{ radianos}$ e $400^{g}=2\pi \mbox{ radianos}$

Daqui resulta que,

$\displaystyle 1 \mbox{ radiano}={\left(\frac{360}{2\pi}\right)}^{\circ} \simeq \, 57º \,\, 17' \,\, 45' '$

$\displaystyle 1 \mbox{ radiano}=\left(\frac{400}{2\pi}\right)^{g} \simeq \, 63,6620^g$

Passagem de um sistema de unidades para outro

Consideremos um ângulo $\angle a,b$ qualquer e designemos por $s$ , $c$ e $d$ as suas medidas nos sistemas sexagesinal, centesimal e circular, respetivamente. Necessitamos de estabelecer uma relação destas medidas com medidas já conhecidas, como por exemplo, a medida de um ângulo raso, que é de $180º$ no sistema sexagesimal, de $200^{g}$ no centesimal e de $\pi \mbox{ rad}$ no circular. Como a razão entre grandezas da mesma espécie é o quociente das suas medidas relativamente a uma unidade comum, resulta que a razão entre o ângulo $\angle a,b$ e o ângulo raso pode ser expressa pelos números $\displaystyle \frac{s}{180}$ , $\displaystyle \frac{c}{200}$ ou por $\displaystyle \frac{d}{\pi}$ .

Como os três números anteriores são iguais então temos que:

$\quad \frac{s}{180}=\frac{c}{200}=\frac{d}{\pi} \quad$

Esta relação permite-nos, conhecendo a medida de um ângulo num dos sistemas, determinar a medida desse mesmo ângulo num dos outros dois sistemas de unidades.

Exemplo

Cálculo das medidas do ângulo $28º$ $48'$ nos sistemas centesimal e circular.

Usando a relação anterior temos que $s=28,8$ pois $48'=0,8º$ ,então

$\displaystyle \frac{28,8}{180}=\frac{c}{200} \, \Leftrightarrow \, c=\frac{200 \times 28,8}{180}=32$

Da mesma forma determinamos a medida do ângulo no sistema circular:

$\displaystyle \frac{28,8}{180}=\frac{d}{\pi} \, \Leftrightarrow \, d=\frac{\pi \times 28,8}{180}=\frac{28,8}{180}\pi=\frac{4}{25}\pi \simeq 0,503$

Logo, o ângulo $28º$ $48'$ mede $32^{g}$ no sistema centesimal e aproximadamente $0,503 \mbox{ rad}$ no sistema circular.

Notas históricas

Dos três sistemas de unidade descritos anteriormente é o sistema circular que parece suscitar maior interesse teórico pela quantidade de assuntos matemáticos em que intervém. Já os outros dois sistemas, sistema sexagesimal e sistema centesimal, são mais utilizados nas aplicações práticas mais elementares.

O sistema sexagesimal será, dos três sistemas de unidades, o mais antigo, como podemos ler na Enciclopédia das Matemáticas Elementares (Berzolari, Milão, 1937, Vol.II p.545), «O sistema sexagesimal é de origem remotíssima. Os Babilónios dividiam a circunferência em 360 partes iguais e esta subdivisão transmitiu-se aos Gregos e Árabes e chegou até nós».

O sistema centesimal parece datar do séc.XV. O notável geómetra H.Briggs (1556-1630) utilizou a subdivisão centesimal na construção duma tábua trigonométrica. Mais tarde, o matemático francês J.L.Lagrange (1736-1813) mostrou-se defensor da substituição do sistema sexagesimal pelo sistema centesimal de unidades de medida de ângulo. Apesar do sistema centesimal ser mais cómodo a nível de cálculo, uma vez que se usam medidas expressas em números decimais, ainda hoje podemos verificar que o sistema mais utilizado e mais comum é o sistema sexagesimal.

Referências

J. Jorge G. Calado (1974) "Compêndio de Trigonometria" 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.

Recursos relacionados disponíveis na Casa das Ciências:

Criada em 17 de Fevereiro de 2013
Revista em 23 de Maio de 2018
Aceite pelo editor em 4 de Dezembro de 2018

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Índice

Ângulos e rotações

Ângulos orientados

Noção de ângulo

Medida dos ângulos

Sistema sexagesimal

Sistema centesimal

Sistema circular

Passagem de um sistema de unidades para outro

Notas históricas

Referências

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+<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar_e_Angela|João Nuno Tavares e Ângela Geraldo]]</i></span><br>
+<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
+<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[http://doi.org/10.24927/rce2018.075 http://doi.org/10.24927/rce2018.075]]</i></span><br>
+<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/pdf/2018/075/" target="_blank">
+                <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html>
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+==Ângulos  e rotações==
+<html>Quando um ponto  $P$  se move sobre uma circunferência, de centro  $O$ , rodando no sentido
+        positivo
+        (anti-horário), partindo de uma certa posição inicial  $Q$ , quando ele regressa a  $Q$ , após descrever uma
+        volta
+        inteira, diz-se que o ponto  $P$  (ou a semi-recta  $OP$ , se preferir) descreveu um <strong>ângulo (de
+            rotação)</strong> (orientado) igual a  $360º$ .
+<p>&nbsp;</p>
+<p>&nbsp;</p>
+Se o ponto descreve um quarto de volta, o ângulo (de rotação) será igual a
+         $\displaystyle\frac{1}{4}\times 360º=90º$ . Um outro exemplo,  $300º$  representa o valor do ângulo
+        correspondente
+        à rotação positiva de P de  $\displaystyle\frac{300}{360}= \displaystyle\frac{15}{18}$  de volta inteira.</p>
+    <p class='mainText'>Quando  $P$  roda no sentido negativo (horário), os ângulos são negativos.</p>
+    <p class='mainText'>Não há qualquer razão matemática para que uma volta inteira corresponda a  $360º$ , ou, de outra
+        forma, para que a unidade de medida seja o grau =  $\displaystyle\frac{1}{360}$  de volta inteira. De facto a
+        única razão é de carácter histórico - é assim desde a antiguidade clássica. Como veremos, existe uma unidade de
+        medida mais apropriada do ponto de vista matemático - o</html> [[Radiano|radiano]].
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+    <figure class="image-medium">
+        <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2018-075-01.png" width="450">
+        <figcaption>FIGURA 1. Ângulos de rotação.</figcaption>
+    </figure>
+</center>
+    <br>
+<p>
+Mas o que significa um <strong>ângulo (de rotação)</strong> de  $500º$ ? Como
+         $5800º=360º+140º$ , significa que o ponto P deu uma volta inteira, no sentido positivo, a que correspondem
+         $360º$ , e depois continuou a rodar descrevendo um ângulo (de rotação) correspondente à rotação positiva de
+         $P$  de  $\displaystyle\frac{140}{360}= \displaystyle\frac{7}{18}$  de volta inteira (veja a figura).</p>
+    <p class='mainText'>Podemos pois definir ângulos de rotação, ou mais simplesmente, ângulos de qualquer valor,
+        racional ou irracional, positivo ou negativo, medidos em graus.</html>
+==Ângulos orientados==
+===Noção de ângulo===
+{| border="0" cellpadding="5"
+|-
+| <html>Uma semi-reta de origem  $O$ , pertencente a um dado plano, pode mover-se nesse plano rodando em
+        torno de  $O$  em dois sentidos: ou no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio que será o
+        sentido positivo, ou no sentido oposto, sentido negativo.</p>
+    <p class='mainText'>Quando a semi-reta partindo da posição  $a$ , roda em torno da origem  $O$  acabando por ocupar
+        a posição  $b$ , diz-se que descreveu o ângulo  $\angle a,b$ . À semi-reta  $a$  chamamos <em>lado origem</em> e
+        à
+        semi-reta  $b$  <em>lado extremidade</em>. O ponto  $O$  é o <em>vértice</em> do ângulo.</p>
+    <p class='mainText'>Assim, o ângulo é positivo ou negativo, conforme o sentido de rotação que leva o lado origem a
+        ocupar a posição lado extremidade seja positivo ou negativo. Nestas condições, a ordem pela qual se consideram
+        lados do ângulo não é indiferente tendo o ângulo um sentido (<strong>ângulo orientado</strong>).
+<p>
+Quando a semirreta <em>a</em> descreve uma rotação em torno da origem <em>O</em> de tal forma
+        que vem a ocupar a posição inicial, efetuando assim uma revolução completa num dado sentido, dizemos que essa
+        semirreta descreveu o ângulo de um giro, ou mais simplesmente, um <strong>ângulo giro</strong>. E como nada
+        impede que esse movimento de rotação continue (no sentido positivo ou negativo), concebem-se assim ângulos
+        (positivos ou negativos) que podem exceder um ou mais ângulos giros.
+<p>
+Portanto, um par ordenado (<em>a</em>,<em>b</em>) de duas semirretas com a mesma origem
+        <em>O</em> corresponde a um ser geométrico múltiplo chamado <strong>ângulo trigonométrico</strong>, constituído
+        por um número infinito de determinações, cada uma das quais se refere à amplitude e sentido da rotação que leva
+        o lado origem a coincidir com o lado extremidade.
+</html>
+||
+<html><iframe scrolling="no" title="Medida dos Ângulos" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/bmks7sze/width/775/height/435/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="230px" height="280x" style="border:0px;"> </iframe></html>
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+===Medida dos ângulos===
+<html>
+Se  $A$  e  $U$  forem duas grandezas (da mesma espécie contínua) e se  $U$  for não nula,
+        existe um e um só número real  $\alpha$  tal que,  $A=\alpha U$ .
+        A este número  $\alpha$  chama-se a medida de  $A$  relativamente a  $U$ . Determinar  $\alpha$  é medir a
+        grandeza  $A$  tomando para unidade a grandeza  $U$ .</p>
+    <p class='mainText'>Considerando agora os ângulos orientados, podemos afirmar que dadas duas determinações  $A$  e
+         $U$ , ( $U$  não nulo), de dois ângulos, existe um e um só número real  $m$  tal que,  $A=m U$ . O número  $m$
+        representa assim a medida da determinação do ângulo  $A$  relativamente à unidade  $U$ .</p>
+    <p class='mainText'>Fixada a unidade  $U$  estabelece-se assim uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos
+        <em>ângulos orientados</em> e conjunto dos <em>números reais</em> (medidas dos ângulos). Esta correspondência é
+        tal
+        que a relação de igualdade, a relação de grandeza e a adição de <strong>ângulos</strong> se traduz,
+        respetivamente, na relação de igualdade, na relação de grandeza e na adição de <strong>números reais</strong>.
+    </p>
+    <p class='mainText'>A escolha da unidade  $U$  é arbitrária, mas habitualmente usa-se um dos três sistemas de
+        unidades definidos em seguida.
+</html>
+==Sistema sexagesimal==
+<html>No sistema sexagesimal admite-se como unidade fundamental o <strong>grau</strong>. Um grau
+        corresponde a  $\displaystyle \frac{1}{90}$  do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.</p>
+    <p class='mainText'>Assim sendo, um ângulo reto mede  $90º$  (90 graus) e um ângulo giro mede  $360º$  (360 graus)
+        pois  $90\times4=360$ .<p></html>
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+|-
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+    <p class='mainText'>O <strong>minuto sexagesimal</strong>  $(1')$  corresponde a  $\displaystyle \frac{1}{60}$  do
+        grau, ou seja, 60 minutos sexagesimais são 1 grau.</p>
+    <p class='mainText'>O <strong>segundo sexagesimal</strong>  $(1' ')$  corresponde a  $\displaystyle \frac{1}{60}$
+        do minuto e portanto  $\displaystyle \frac{1}{3600}$  do grau, ou seja, 3600 segundos sexagesimais são 1 grau.
+    </p>
+    <p class='mainText'>O <strong>décimo do segundo</strong>, o <strong>centésimo do segundo</strong> etc.</p><p></html>
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+<html><p class='mainText'>Um ângulo composto de 30 graus, 12 minutos, 8 segundos e 2 centésimos que simbolicamente podemos
+        representar por  $30º$   $12'$   $8' '$   $,02$  tem uma medida em graus de \(\displaystyle
++\frac{12}{60}+\frac{8}{3600}+\frac{2}{360\times 100} \simeq 30,2023\).</p>
+    <p class='mainText'>Para indicar a medida deste ângulo usamos habitualmente a notação  $30º$   $12'$   $8' '$
+         $,02$  para nos referirmos ao número anterior.</p><p></html>
+==Sistema centesimal==
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+    </p>
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+<span style="color:green">'''Exemplo'''</span>
+<html>Um ângulo composto de 20 grados, 8 minutos e 24 segundos que simbolicamente podemos representar
+        por  $20^{g}$   $8^{‵}$   $24‶$  tem uma medida em grados de \(\displaystyle
++\frac{8}{100}+\frac{24}{10000}=20,0824\).</p>
+    <p class='mainText'>Para indicar a medida deste ângulo no sistema centesimal usamos habitualmente a notação
+         $20^{g}$   $8^{‵}$   $24‶$  para nos referirmos ao número anterior.<p></html>
+==Sistema circular==
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-<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
+    <p class='mainText'>No sistema circular a unidade de medida é o radiano.
-<span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>Colocar nome do editor</i></span>
+        Como sabemos um radiano é a medida de um ângulo ao centro definido num círculo por um arco com o mesmo
+        comprimento que o raio do círculo. Sabemos também que existe proporcionalidade direta entre a medida de um
+        ângulo ao centro e o comprimento do arco correspondente. Considerando o ângulo da FIGURA 1 podemos então
+        estabelecer que:</p>
+    <br><center>
+    <p class='mainText centered'>\[\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo
+        giro}}=\frac{\mbox{comprimento do arco } AB}{\mbox{comprimento da circunferência}}\]</p></center>
+    <br>
+    <p class='mainText'>Como o comprimento do arco  $AB$  é igual ao raio do círculo, resulta que</p>
+    <br>
+    <p class='mainText centered'>\[\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo giro}}=\frac{r}{2\pi
+        r}=\frac{1}{2\pi}\]</p>
+    <br>
+    <p class='mainText'>Esta relação mostra que a medida de um <strong>ângulo giro</strong> é de  $2\pi$  radianos.
+        Estabelecendo a relação com os dois sistemas de unidades anteriores temos que:</p>
+    <br><center>
+    <p class='mainText centered'> $360º=2\pi \mbox{ radianos}$  e  $400^{g}=2\pi \mbox{ radianos}$ </p></center>
+    <br>
+    <p class='mainText'>Daqui resulta que,</p>
+    <br><center>
+    <p class='mainText centered'>\(\displaystyle 1 \mbox{ radiano}={\left(\frac{360}{2\pi}\right)}^{\circ} \simeq \, 57º
+        \,\, 17' \,\, 45' '\)</p>
+    <p class='mainText centered'> $\displaystyle 1 \mbox{ radiano}=\left(\frac{400}{2\pi}\right)^{g} \simeq \, 63,6620^g$ </p></center>
+    <br></html>
-=Ângulos orientados=
-=Sistema sexagesimal=
+==Passagem de um sistema de unidades para outro==
+<html><br>
+    <p class='mainText'>Consideremos um ângulo  $\angle a,b$  qualquer e designemos por  $s$ ,  $c$  e  $d$  as suas
+        medidas nos sistemas sexagesinal, centesimal e circular, respetivamente. Necessitamos de estabelecer uma relação
+        destas medidas com medidas já conhecidas, como por exemplo, a medida de um <i>ângulo raso</i>, que é de  $180º$
+        no sistema sexagesimal, de  $200^{g}$  no centesimal e de  $\pi \mbox{ rad}$  no circular.
+        Como a razão entre grandezas da mesma espécie é o quociente das suas medidas relativamente a uma unidade comum,
+        resulta que a razão entre o ângulo  $\angle a,b$  e o ângulo raso pode ser expressa pelos números
+         $\displaystyle \frac{s}{180}$ ,  $\displaystyle \frac{c}{200}$  ou por  $\displaystyle \frac{d}{\pi}$ .</p>
+    <br>
+    <p class='mainText'>Como os três números anteriores são iguais então temos que:</p><p></html>
-=Sistema centesimal=
+{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
+|-
+! style="background: #efefef;" |  $\quad \frac{s}{180}=\frac{c}{200}=\frac{d}{\pi} \quad$
+|}
-=Sistema circular=
+Esta relação permite-nos, conhecendo a medida de um ângulo num dos sistemas, determinar a medida desse mesmo ângulo num dos outros dois sistemas de unidades.
-=Passagem de um sistema de unidades para outro=
+<span style="color:green">'''Exemplo'''</span>
-=Notas históricas=
+<html><p class='mainText'>Cálculo das medidas do ângulo  $28º$   $48'$  nos sistemas centesimal e circular.</p>
+    <p class='mainText'>Usando a relação anterior temos que  $s=28,8$  pois  $48'=0,8º$ ,então</p>
+    <br>
+    <p class='mainText centered'>\(\displaystyle \frac{28,8}{180}=\frac{c}{200} \, \Leftrightarrow \, c=\frac{200 \times
+,8}{180}=32\)</p>
+    <br>
+    <p class='mainText'>Da mesma forma determinamos a medida do ângulo no sistema circular:</p>
+    <br>
+    <p class='mainText centered'>\(\displaystyle \frac{28,8}{180}=\frac{d}{\pi} \, \Leftrightarrow \, d=\frac{\pi \times
+,8}{180}=\frac{28,8}{180}\pi=\frac{4}{25}\pi \simeq 0,503\)</p>
+    <br>
+    <p class='mainText'>Logo, o ângulo  $28º$   $48'$  mede  $32^{g}$  no sistema centesimal e aproximadamente \(0,503
+        \mbox{ rad}\) no sistema circular.</p><p></html>
-=Referências=
+==Notas históricas==
+<html><br>
+    <p class='mainText'>Dos três sistemas de unidade descritos anteriormente é o sistema circular que parece suscitar
+        maior interesse <em>teórico</em> pela quantidade de assuntos matemáticos em que intervém. Já os outros dois
+        sistemas, sistema sexagesimal e sistema centesimal, são mais utilizados nas aplicações práticas mais
+        elementares.</p>
+    <p class='mainText'>O <strong>sistema sexagesimal</strong> será, dos três sistemas de unidades, o mais antigo, como
+        podemos ler na <em>Enciclopédia das Matemáticas Elementares</em> (Berzolari, Milão, 1937, Vol.II p.545), <em>«O
+            sistema sexagesimal é de origem remotíssima. Os Babilónios dividiam a circunferência em 360 partes iguais e
+            esta subdivisão transmitiu-se aos Gregos e Árabes e chegou até nós»</em>.</p>
+    <p class='mainText'>O <strong>sistema centesimal</strong> parece datar do séc.XV. O notável geómetra H.Briggs
+        (1556-1630) utilizou a subdivisão centesimal na construção duma tábua trigonométrica. Mais tarde, o matemático
+        francês J.L.Lagrange (1736-1813) mostrou-se defensor da substituição do sistema sexagesimal pelo sistema
+        centesimal de unidades de medida de ângulo. Apesar do sistema centesimal ser mais cómodo a nível de cálculo, uma
+        vez que se usam medidas expressas em números decimais, ainda hoje podemos verificar que o sistema mais utilizado
+        e mais comum é o sistema sexagesimal.</p><p></html>
+==Referências==
 # J. Jorge G. Calado (1974) ''"Compêndio de Trigonometria"'' 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.
-# Elemento 2
-# Elemento 3
+----
+Recursos relacionados disponíveis na [http://www.casadasciencias.org Casa das Ciências]:<br>
+# [https://www.casadasciencias.org/recurso/7498 Construção de Triângulos];<br>
+# [https://www.casadasciencias.org/recurso/7238 Ângulos e Triângulos].<br>
+---- <br>Criada em 17 de Fevereiro de 2013<br> Revista em 23 de Maio de 2018<br> Aceite pelo editor em 4 de Dezembro de 2018<br>
+[[Category:Matemática|Angulo (medidas)]]