Diferenças entre edições de "Função exponencial"

Revisão das 21h53min de 3 de abril de 2013

Referência : Não citável Esta página ainda não foi aprovada.
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Definição

Seja $a$ um número real positivo, $a \neq 1$, a função exponencial de base $a$, $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{+}$, indicada pela notação $f(x)=a^x$, é definida de modo a ter as seguintes propriedades, para quaisquer $x$ e $y$ $\in \mathbb{R}$:

• $a^x . \,a^y=a^{x+y}$;

• $a^1=a$;

• $x<y \, \Rightarrow \, a^x<a^y$ para $a>1$ e $x<y \, \Rightarrow \, a^x>a^y$ para $0<a<1$.

Mais propriedades

Monotonia:

A terceira propriedade acima descrita diz que a função exponencial é uma função monótona, estritamente crescente quando $a>1$ e estritamente decrescente quando $0<a<1$.

Sinal:

Sendo $a>0$ então $a^x>0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Portanto, a função exponencial é positiva em todo o seu domínio, ou seja, positiva em $\mathbb{R}$.

Sendo a função exponencial uma função positiva não tem zeros.

Injetividade:

A injetividade da função exponencial decorre da terceira propriedade da secção anterior ou mesmo do facto de ser uma função monótona. Temos assim que se $x_1 \neq x_2$ então $a^{x_1} \neq a^{x_2}$

Continuidade:

A função exponencial é uma função contínua em todo o seu domínio.

Paridade:

Uma função par é uma função tal que $f(x)=f(-x)$,vejamos então se a função exponencial é par:

$f(x)=a^x$ $\dislaystyle f(-x)=a^{-x}={\frac{1}{a}}^{x}$

Uma vez que existem valores de $x$ para os quais $f(x) \neq f(-x)$ a função não é par.

Uma função ímpar é umafunção tal que $f(x)=-f(-x)$, vejamos então se a função exponencial é ímpar:

$\displaystyle -f(-x)=-a^{-x}=-{\frac{1}{a}}^{x}$ que é necessariamente diferente de $f(x)$ pois é negativa e $f(x)$ é positiva. Portanto a função não é ímpar

Daqui resulta que a função exponencial não é par nem é ímpar, o que em termos da representação gráfica significa que não é simétrica em relação ao eixo das ordenadas nem em relação à origem do referencial.

Representação gráfica

Referências

• LIMA, Elon Lages, CARVALHO Paulo Cezar, WAGNER Eduardo, MORGADO Augusto César (1997) "A Matemática do Ensino Médio - Volume 1" 2ªedição, Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, rio de Janeiro..