• No plano, a equação \(\vec u \cdot \vec x =0\) representa a reta vetorial (isto é, que passa na origem) ortogonal a \(\vec u\). Se \(\vec u =(a,b)\) e \(\vec x =(x,y)\), \(\vec u \cdot \vec x = (a,b) \cdot (x,y)= ax +by\), e então a equação escreve-se da forma,

\(\qquad\)e diz-se a equação cartesiana da reta referida.

• No espaço, a equação \(\vec u \cdot \vec x =0\) representa o plano vetorial (isto é, que passa na origem) ortogonal a \(\vec u\). Se \(\vec u =(a,b,c)\) e \(\vec x =(x,y,z)\), \(\vec u \cdot \vec x = (a,b,c) \cdot (x,y,z)= ax+by+cz\), e então a equação escreve-se da forma,

\(\qquad\)e diz-se a equação cartesiana do plano referido.

• \(2x-y=0\) é a equação da reta vetorial ortogonal ao vetor \(\vec u =(2,-1)\).
• \(-x+3y+5=0\) é a equação do plano vetorial ortogonal ao vetor \(\vec u =(-1,3,5)\).
• \(3x-4z=0\) (em \(\mathbb{R}^3\)) é a equação da reta vetorial ortogonal ao vetor \(\vec u =(3,0,-4)\). Esta reta está contida no plano \(y=0\), ou seja no plano \(xOz\).

Aplicação

Como calcular a equação cartesiana da reta que passa em \(A=(-1,2)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec u=(3,4)\)?

Consideramos \(P=(x,y)\) um ponto genérico dessa reta, então o vetor \(\overrightarrow{AP}=P-A=(x,y)-(-1,2)=(x+1,y-2)\) é ortogonal ao vetor \(\vec u\). Portanto, \(\overrightarrow{AP} \cdot \vec u=0\), isto é,

\((x+1,y-2) \cdot (3,4)=0 \, \Longleftrightarrow \, 3(x+1)+4(y-2)=0 \, \Longleftrightarrow \, 3x+4y=5\).

Que se dizem equações paramétricas da reta referida. Quando o "tempo" \(t\) varia, elas representam o movimento de um ponto (partícula) que se desloca sobre a reta com movimento uniforme de vetor-velocidade \(\vec v=(-b,a)\) e velocidade (escalar) \(v=\|\vec v\|=\sqrt{a^2+b^2}\).

Aplicação

Como calcular as equações paramétricas da reta que passa no ponto \(A=(2,-3)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec u=(1,4)\)?

O vetor \(\vec v=(-4,1)\) é perpendicular ao vetor \(\vec u\) pois \(\vec u \cdot \vec v=(1,4) \cdot (-4,1)=-4+4=0\). Portanto, pretendemos as equações paramétricas da reta que passa em \(A\) e é paralela ao vetor \(\vec v\). Se \(P=(x,y)\) um ponto genérico dessa reta, então \(\overrightarrow{AP}=P-A=(x,y)-(2,-3)=(x-2,y+3)\) é um múltiplo escalar do vetor \(\vec v\), isto é, \(\overrightarrow{AP}=t\vec v\), ou seja,

\((x-2,y+3)=t(-4,1) \, \Longleftrightarrow \, \left\{\begin{array}{ll} x=2-4t \\ y=-3+t \, , \quad t \in \mathbb{R}\end{array}\right.\)

No plano, sejam \(A=(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\) esses dois pontos, queremos então determinar a equação da reta que passa por \(A\) e é paralela ao vetor \(\overrightarrow{AB}\). Se \(P=(x,y)\) é um ponto genérico dessa reta temos que,

que é chamada a equação vetorial da reta. Em coordenadas, \((x,y)=(x_A,y_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}\).

No espaço, considerando \(A=(x_A,y_A,z_A)\) e \(B=(x_B,y_B,z_B)\) os dois pontos pelos quais passa a reta a sua equação vetorial é:

\[(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}\].

Como calcular a equação vetorial da reta que passa pelos pontos \(A=(2,-1,0)\) e \(B=(-3,1,2)\)?

Consideramos \(P=(x,y,z)\) um ponto genérico dessa reta. A reta pretendida passa pelos pontos \(A\) e \(B\) por isso é uma reta paralela ao vetor \(\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,1,2)-(2,-1,0)=(-5,0,2)\). Portanto a equação vetorial dessa reta é dada por:

\(P=A+t\overrightarrow{AB} \, \Longleftrightarrow \, (x,y,z)=(2,-1,0)+t(-5,0,2) \, , \quad t \in \mathbb{R}\)