Diferenças entre edições de "Equações da reta"
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* −x+3y+5=0 é a equação do plano vetorial ortogonal ao vetor →u=(−1,3,5). | * −x+3y+5=0 é a equação do plano vetorial ortogonal ao vetor →u=(−1,3,5). | ||
* 3x−4z=0 (em R3) é a equação da reta vetorial ortogonal ao vetor →u=(3,0,−4). Esta reta está contida no plano y=0, ou seja no plano xOz. | * 3x−4z=0 (em R3) é a equação da reta vetorial ortogonal ao vetor →u=(3,0,−4). Esta reta está contida no plano y=0, ou seja no plano xOz. | ||
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A equação →x=t→v diz-se <span style="color:red">'''equação vetorial'''</span> da reta referida. | A equação →x=t→v diz-se <span style="color:red">'''equação vetorial'''</span> da reta referida. | ||
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+ | x=-tb & \\ | ||
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Revisão das 22h51min de 4 de fevereiro de 2013
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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Equação cartesiana
Considerando dois vetores →u e →x, com →u≠0, a equação em →x, →u⋅→x=0 representa o conjunto de todos os vetores →x que são ortogonais a →u. Temos então dois casos:
- No plano, a equação →u⋅→x=0 representa a reta vetorial (isto é, que passa na origem) ortogonal a →u. Se →u=(a,b) e →x=(x,y), →u⋅→x=(a,b)⋅(x,y)=ax+by, e então a equação escreve-se da forma,
ax+by=0 |
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e diz-se a equação cartesiana da reta referida.
- No espaço, a equação →u⋅→x=0 representa o plano vetorial (isto é, que passa na origem) ortogonal a →u. Se →u=(a,b,c) e →x=(x,y,z), →u⋅→x=(a,b,c)⋅(x,y,z)=ax+by+cz, e então a equação escreve-se da forma,
ax+by+cz=0 |
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e diz-se a equação cartesiana do plano referido.
Exemplos
- 2x−y=0 é a equação da reta vetorial ortogonal ao vetor →u=(2,−1).
- −x+3y+5=0 é a equação do plano vetorial ortogonal ao vetor →u=(−1,3,5).
- 3x−4z=0 (em R3) é a equação da reta vetorial ortogonal ao vetor →u=(3,0,−4). Esta reta está contida no plano y=0, ou seja no plano xOz.
Equação vetorial
Considerando a mesma reta, →u⋅→x=0, vejamos que o vetor →v=(−b,a) pertence à reta uma vez que →u⋅→v=(a,b)⋅(−b,a)=−ab+ba=0. Portanto a reta é também o conjunto de todos os vetores →x que são múltiplos escalares do vetor →v. Isto é,
ax+by=0⟺ |
{→x∈R2:→x=t(−b,a),t∈R} |
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A equação →x=t→v diz-se equação vetorial da reta referida.
Equações paramétricas
Se →x=(x,y), como →v=(−b,a), então →x=t→v⇔(x,y)=t(−b,a)⇔x=−tb∧y=ta, sendo que assim a equação vetorial é equivalente às duas equações seguintes:
\left{\begin{array}{ll}
x=-tb & \\
y=ta & \end{array} \right.