Mostrar código-fonte de Relações trigonométricas num triângulo retângulo

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J.N., (2013) Relações trigonométricas num triângulo retângulo, ''[http://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.]'', V1(1):023
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<span style="font-size:8pt"><b>Autores</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar|João Nuno Tavares]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Rodrigue|José Francisco Rodrigues]]</i></span><br>
<b>DOI</b>: <i>[[http://doi.org/10.24927/rce2013.023 http://doi.org/10.24927/rce2013.023]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/pdf/2013/023/" target="_blank">
                <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html>
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==Razões trigonométricas==

Seja \(\alpha\) um ângulo agudo \((0<\alpha<90º)\) de um [[Triângulo retângulo|triângulo retângulo]], como se mostra no applet, podemos definir as três razões trigonométricas como:

[[Image:RelacTrig1.png‎|thumb|upright|350px| '''Figura 1''' - Triângulo Retângulo]]


\(\sin\alpha =\displaystyle \frac{\mbox{comprimento do cateto oposto}}{\mbox{comprimento da hipotenusa}} = \frac{a}{c}\)


\(\cos\alpha =\displaystyle \frac{\mbox{comprimento do cateto adjacente}}{\mbox{comprimento da hipotenusa}} = \frac{b}{c}\)


\(\tan\alpha =\displaystyle \frac{\mbox{comprimento do cateto oposto}}{\mbox{comprimento do lado adjacente}} = \frac{a}{b}\)


== Fórmula Fundamental da Trigonometria==


A '''Fórmula Fundamental da Trigonometria''' é uma consequência direta da aplicação do [[Teorema de Pitágoras]] ao triângulo retângulo da figura 1. Assim,

\((\mbox{hipotenusa})^2 = (\mbox{cateto oposto})^2+(\mbox{cateto adjacente})^2\)

Usando as letras da figura obtemos,

\(c^2=a^2+b^2\)

Dividindo ambos os membros da equação por \(a^2\neq 0\) concluímos, então, que \(1=\displaystyle \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \sin^2\alpha+\cos^2\alpha \), isto é, 

{| class="wikitable"  
|-
{|border=1 align=center rules=cols
|- 
| \[\qquad \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\qquad\]
|-
|}
|}


==Outras relações==

Considerando agora a divisão das razões trigonométricas \(\sin\alpha\) e \(\cos\alpha\) obtemos, \(\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = {\Large\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}}=\frac{a}{b}=\tan\alpha \), isto é, 

{| class="wikitable" 
|- 
{|border=1 align=center rules=cols
|- 
|\[\quad\tan\alpha=\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\qquad\]
|-
|}
|}


Olhando novamente para a fórmula fundamental da trigonometria, \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), e aplicando a ambos os membros da mesma uma divisão por \(\,\cos^2\alpha\,\) obtemos mais uma relação trigonométrica:

{| class="wikitable" 
|- 
{|border=1 align=center rules=cols
|- 
|\[\qquad\tan^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}\qquad\]
|-
|}
|}

<br>

{| class="wikitable" cellspacing="20"
|- 
| <html><iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/806063/width/450/height/450/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="450px" height="450px" style="border:0px;"> </iframe></html> || Considerando esta aplicação podemos verificar mais algumas relações trigonométricas, neste caso, entre os dois [[Ângulo|ângulos agudos]] do [[Triângulo retângulo|triângulo retângulo]] representado, \(\alpha\) e \(\beta\).

Resulta facilmente do facto da soma dos [[Ângulo|ângulos internos]] de um triângulo ser \(180º\) que \(\alpha+\beta=90º\).

Como se mostra na aplicação:

{| class="wikitable" 
|- 
| 
{|border=0 align=left rules=none
|-
|\[\sin\alpha=\displaystyle\frac{a}{c}=\cos\beta=\cos(90º-\alpha)\qquad\]
|-
| \[\cos\alpha=\displaystyle\frac{b}{c}=\sin\beta=\sin(90º-\alpha)\qquad\]
|} 
|| 
{|border=1 align=left rules=cols
|- 
| \[\qquad\sin\alpha = \cos(90º-\alpha)\qquad\]
|-
| \[\qquad\cos\alpha = \sin(90º-\alpha)\qquad\]
|}
|}

''Mova os pontos '''B''' e '''C''' e verifique a validade das relações estabelecidas acima.''
|}


[[Category:Matemática]]

---- <br>Criada em 09 de Novembro de 2012<br> Revista em 27 de Dezembro de 2012<br> Aceite pelo editor em 27 de Dezembro de 2012<br>