Mostrar código-fonte de Regressão linear simples

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Martins, E.G.M., (2019) Regressão linear simples, ''[http://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.]'',   V7(3):045
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<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>[[Usuário:Megm|Maria Eugénia Graça Martins]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[http://doi.org/10.24927/rce2019.045 http://doi.org/10.24927/rce2019.045]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/pdf/2019/045/" target="_blank">
                <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html>
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Um modelo de '''Regressão''' é um modelo matemático que descreve a relação entre duas ou mais [[Variável_(Estatística)|variáveis]] de tipo quantitativo. Se o estudo incidir unicamente sobre duas variáveis e o modelo matemático for a equação de uma reta, então diz-se '''regressão linear simples'''.


Quando o [[Diagrama_ou_gráfico_de_dispersão|diagrama de dispersão]] realça a existência de uma associação linear entre duas variáveis <b>x</b> e <b>y</b>, então é possível resumir através de uma reta a forma como a variável dependente ou ''variável resposta  (ou variável a prever)'' '''y''' é influenciada pela variável independente ou ''variável explanatória  (ou variável preditora)'' '''x'''. A esta reta dá-se o nome de '''reta de regressão'''.


Dado um conjunto de [[Dados bivariados|dados bivariados]] (x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>), i=1,...,n, do par de variáveis ('''x''', '''y'''), pode ter interesse ajustar uma reta da forma y=a+bx, que dê informação de como se refletem em '''y''' as mudanças processadas em '''x'''. Um dos métodos mais conhecidos de ajustar uma reta a um conjunto de dados, é o ''método dos mínimos quadrados'', que consiste em determinar a reta que minimiza a soma dos quadrados dos desvios (ou erros) entre os verdadeiros valores das ordenadas e os obtidos a partir da reta, que se pretende ajustar 


<div style="text-align: center;">
[[Ficheiro:Min_quad.png]]
</div>


Esta técnica, embora muito simples, é pouco resistente, já que é muito sensível a dados “estranhos” - valores que se afastam da estrutura da maioria, normalmente designados por ''outliers''. Efetivamente, quando se pretende minimizar


<div style="text-align: center;">
\[\sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{n}} {{\rm{e}}_{_{\rm{i}}}^{\rm{2}}}  = \sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{n}} {{{{\rm{(}}{{\rm{y}}_{\rm{i}}} - {{{{\rm{\hat y}}}}_{\rm{i}}}{\rm{)}}}^{\rm{2}}}} \]
</div>


pode-se mostrar que os estimadores do declive e da ordenada da origem da '''reta de regressão''' são,  respetivamente:


<div style="text-align: center;">
\({\rm{b}} = \frac{{\sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{n}} {{\rm{(}}{{\rm{x}}_{\rm{i}}} - {{\rm{\bar x}}}{\rm{)(}}{{\rm{y}}_{\rm{i}}} - {{\rm{\bar y}}}{\rm{)}}} }}{{\sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{n}} {{{{\rm{(}}{{\rm{x}}_{\rm{i}}} - {{\rm{\bar x}}}{\rm{)}}}^{\rm{2}}}} }}{\rm{ \quad \quad \quad e \quad \quad \quad a  =  }}{{\rm{\bar y}}}{\rm{ }} - {\rm{ b\bar x}}\) 
</div>

onde se representa por \({{\rm{\bar x}}}\) e \({{\rm{\bar y}}}\) as [[Média_(Estatística)|médias]] dos x<sub>i</sub>’s e dos y<sub>i</sub>’s. O facto de dependerem da média, que é uma medida não resistente, faz com que a recta de regressão seja também não resistente. Assim, é necessário proceder a uma análise prévia do [[Diagrama_ou_gráfico_de_dispersão|diagrama de dispersão]] para ver se não existem alguns ''outliers''. À '''reta de regressão''' obtida por este processo, também se dá o nome de '''reta dos mínimos quadrados'''.


Pode-se mostrar que \(r^2=1-\frac{{\sum^n_{i=0}{(y_i-\widehat{y_i}})}^2}{{\sum^n_{i=0}{(y_i-{\mathop{y}\limits^{\leftharpoonup}}_i})}^2}\) onde r é o [[Coeficiente de correlação amostral|coeficiente de correlação amostral]] entre '''x''' e '''y'''. Esta quantidade \({{\rm{r}}^{\rm{2}}}\) é o [[Coeficiente de determinação|coeficiente de determinação]] e é referida como a quantidade de variabilidade dos dados explicada pelo '''modelo de regressão'''. Esta medida é normalmente utilizada como uma indicação da adequação do modelo de regressão ao conjunto de pontos inicialmente dado<<ref><html>GRAÇA MARTINS, M.E. , <em>Introdução à Probabilidade e à Estatística. Com complementos de Excel.</em>, Edição da SPE, ISBN-
972-8890-03-6. Depósito Legal 228501/05. 2005.</html></ref>, mas deve ser usada com precaução, pois nem sempre um valor de \(r^{2}\) grande (próximo de 1) é sinal de que um modelo esteja a ajustar bem os dados. Do mesmo modo, um valor baixo de \(r^{2}\), pode ser provocado por um <em>outlier</em>, enquanto a maior parte dos dados se ajustam razoavelmente bem a uma reta<ref><html>De Veaux, R. D. <em>et al.</em>, <em>Intro stats</em>, Pearson Education Inc. ISBN 0-201-70910. 2004.b</html></ref>. Uma visualização prévia dos dados num diagrama de dispersão é fundamental.


Uma forma de verificar se o modelo ajustado é bom é através dos resíduos, isto é, das diferenças entre os valores observados y e os valores ajustados \({\rm{\hat y}}\):

<div style="text-align: center;">
resíduos = dados observados – valores ajustados
</div>

pois se estes não se apresentarem muito grandes, nem com nenhum padrão bem determinado, é sintoma de que o modelo que estamos a ajustar é bom.

=== Nota ===
A reta de regressão é utilizada em '''predições''', isto é, para predizer o valor de '''y''', para um dado valor de '''x'''. No entanto estas predições não devem contemplar valores de '''x''' fora do intervalo dos x<sub>i</sub>’s, uma vez que o facto de a reta ajustar bem os pontos dados, não significa que sirva para fazer ''extrapolações''.   



Suponha que se recolheu o seguinte conjunto de dados referentes à idade (em meses) e à altura em centímetros de 18 crianças de uma escola:

<div style="text-align: center;">
[[Ficheiro:Img.Regressão_linear_simples_2.png]]
</div>


O diagrama de dispersão dos dados mostra a existência de uma relação linear entre a idade e a altura, pelo que se vai ajustar aos dados uma reta dos mínimos quadrados, cuja equação está no gráfico seguinte (obtida no Excel):

<div style="text-align: center;">
[[Ficheiro:Idade.png]]
</div>


O [[Coeficiente_de_correlação_amostral|coeficiente de correlação]] é igual a 0,793, donde o [[Coeficiente_de_determinação|coeficiente de determinação]] vem aproximadamente igual a 63% (≈100x0,793<sup>2</sup>)%, o que significa que a variabilidade que não é explicada pela reta de regressão anda à volta de 37% (=100-63)%. 


Se se tentar ''extrapolar'' a altura de um jovem com cerca de 17 anos (200 meses) obter-se-á uma altura de 180 cm e para um jovem adulto de cerca de 21 anos, mais de 2 metros de altura, o que vai de encontro à nota anterior.

== Referências ==
<references/>
<html>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</html>3. Montgomery, D. C. & Runger, G. C., <em>Applied statistics and probability for engineers</em>, John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-20454-4. 2003.

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Recursos relacionados disponíveis na [http://www.casadasciencias.org Casa das Ciências]:<br>
# [https://www.casadasciencias.org/recurso/6168 Regressão Linear];<br>
# [https://www.casadasciencias.org/recurso/6172 Efeitos na Regressão Linear];<br>
# [https://www.casadasciencias.org/recurso/6169 Regressão Linear II];<br>
# [https://www.casadasciencias.org/recurso/6170 Regressão Linear III];<br>

---- <br>Criada em 25 de Março de 2012<br> Revista em 16 de Fevereiro de 2019<br> Aceite pelo editor em 16 de Outubro de 2019<br>
[[Category:Matemática]]