Mostrar código-fonte de Principio de indução matemática

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2018) ''Princípio de indução matemática'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V6(1):087
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2018.087 https://doi.org/10.24927/rce2018.087]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2018-087.pdf" target="_blank">
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__TOC__

==Princípio de indução matemática==

O Principio de indução matemática diz o seguinte - seja \(\mathcal{P}(n)\) uma proposição que depende de um inteiro natural \(n\in \mathbb{N}\). Então:

* <span style="color:red;"> '''<u>se</u>''' </span>     \(\mathcal{P}(1)\) é verdadeira, <span style="color:red;"> '''<u>e se</u>''' </span> 
* \(\forall n\in \mathbb{N}\) <span style="color:red;"> '''<u>se</u>''' </span>   \(\mathcal{P}(n)\) é verdadeira  <span style="color:red;"> '''<u>então</u>''' </span>   \(\mathcal{P}(n+1)\) também o é

a proposição \(\mathcal{P}(n)\) é verdadeira \(\forall n\in \mathbb{N}\). O princípio serve pois para provar proposições  do tipo \(\forall n\in \mathbb{N}, \,  \mathcal{P}(n)\).


[[Ficheiro:Domino1.gif|thumb|right|400px]] A maneira mais usual de visualizar este princípio é a da queda de peças de dominó em cadeia: <span style="color:red;"> '''se''' </span>   a primeira cai, e <span style="color:red;"> '''se''' </span>   cada peça provocar a queda da seguinte,  <span style="color:red;"> '''então''' </span>    todas caiem. Mas se a primeira não cai, ou  se existe na cadeia alguma peça que não provoque a queda da seguinte, nem todas caiem!

=Exemplos= 

==Exemplo 1== 

Podemos usar o princípio de indução matemática para mostrar que:

\[1+2+3+4+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\]


Neste caso \(\displaystyle \mathcal{P}(n)=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\). Portanto, <span style="color:green">\(\mathcal{P}(1)\)</span>\(\displaystyle =1=\frac{1(1+1)}{2}\quad\) e <span style="color:green">\(\quad \mathcal{P}(n+1)\)</span>\(\displaystyle =1+2+3+\cdots+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\).


\(\quad\quad\)'''1.'''  \(\displaystyle \mathcal{P}(1)=1=\frac{1(1+1)}{2}\) é verdadeira.

\(\quad\quad\)'''2.'''  Supomos agora que \(\mathcal{P}(n)\) é verdadeira, ou seja, a <span style="color:red">hipótese de indução</span>. Queremos mostrar que \(\mathcal{P}(n+1)\) também é verdadeira.


{| border="0" cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align: left;" align="center"
|-
| &nbsp; &nbsp; \(1+2+3+\cdots+n+(n+1)\) || \(=\) || \((1+2+3+\cdots+n)+(n+1)\)
|-
|  || \(=\) || \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\), pela hipótese de indução
|-
|  || \(=\) || \(\displaystyle \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}\) \(\quad\quad \mbox{QED}\)
|}

==Exemplo 2== 

Outro exemplo da aplicação do princípio de indução matemática pode ser visto na demonstração de:

\[17^n-10^n \mbox{é múltiplo de } 7, \, \forall n \in \mathbb{N}\]


\(\quad\quad\)'''1.'''  \(\mathcal{P}(1)=1=17^1-10^1=7\), que é múltiplo de 7, portanto \(\mathcal{P}(1)\) é verdadeira.

\(\quad\quad\)'''2.'''  Supomos agora que \(\mathcal{P}(n)\) é verdadeira, ou seja, a <span style="color:red">hipótese de indução</span>. Queremos mostrar que \(\mathcal{P}(n+1)\) também é verdadeira.


{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align: left;" align="center"
|-
| &nbsp; &nbsp; \(17^{n+1}-10^{n+1}\) || \(=\) || \(17^n \cdot 17-10^n \cdot 10\)
|-
|  || \(=\) || \(17^n \cdot 17 - 10^n \cdot 10 - 17^n \cdot 10 + 17^n \cdot 10\)
|-
|  || \(=\) || \(17^n \cdot 17 - 17^n \cdot 10 + 17^n \cdot 10 - 10^n \cdot 10 \)
|-
|  || \(=\) || \(17^n \cdot (17-10) + 10 \cdot (17^n - 10^n) \)
|-
|  || \(=\) || \(17^n \cdot 7 + 10 \cdot (\mbox{múltiplo de 7})\), pela hipótese de indução
|-
|  || \(=\) || \(\mbox{múltiplo de 7}\) \(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \mbox{QED}\)
|}

==Exemplo 3== 

{| class="wikitable" cellspacing="20"
|-
| <html><iframe scrolling="no" title="Principio de indução matemática" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/hyngrfba/width/450/height/300/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="450px" height="300px" style="border:0px;"> </iframe></html> 
| &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  || 
Considere \(n\) rectas no plano que estão em posição geral, isto é, 

- duas quaisquer intersectam-se (não há paralelas) e 
- não existem 3 ou mais que se intersectam num único ponto.

Em quantas partes dividem o plano?

Designemos por \(P(n)=\) número de partes em que as \(n\) rectas em posição geral dividem o plano.

Para \(n=1\), é claro que \(P(1)=2\).

Suponhamos que conhecemos \(P(n)\) e determinemos \(P(n+1)\). Consideremos pois \(n+1\) rectas 
em posição geral  no plano. As \(n\) primeiras destas rectas dividem o plano em \(P(n)=\) partes. A última, 
chamemos-lhe \(\ell\), intersecta as  \(n\) primeiras em  \(n\) pontos distintos que dividem a recta \(\ell\) em \(n+1\) pontos distintos (veja o applet com \(n=3\) rectas, com \(P(3)=7\) partes, e \(n+1=4\) rectas e \(P(4)=11\) partes).

|}

Portanto, a recta \(\ell\) tem pontos comuns com \(n+1\) das partes determinadas pelas \(n\) primeiras rectas a que se vêm juntar \(n+1\) novas partes (veja o applet: às \(P(3)=7\) partes determinadas 
pelas \(3\) primeiras rectas, juntam-se \(4\) novas partes).

Concluindo

\(P(n+1)=P(n)+(n+1)\)

Fazendo nesta igualdade \(n\) sucessivamente igual a \(n-1,n-2,\cdots,2,1\), obtemos

\(\begin{eqnarray}
P(n)&=&P(n-1)+n \\
P(n-1)&=&P(n-2)+(n-1)\\
&\vdots&\\
P(3)&=&P(2)+3\\
P(2)&=&P(1)+2 
\end{eqnarray}\)

Somando estas igualdades, simplificando e atendendo a que \(P(1)=2\), obtemos

\(\begin{eqnarray}
P(n)&=&P(1)+[n+(n-1)+\cdots+2]\\ 
&=& 1+[n+(n-1)+\cdots+1]\\
&=& 1+\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} \\
&=&  \displaystyle \frac{n^2+n+2}{2}
\end{eqnarray}\)

---- <br>Criada em 8 de Janeiro de 2013<br> Revista em 11 de Janeiro de 2013<br> Aceite pelo editor em 31 de Março de 2018<br>
[[Category:Matemática]]