Mostrar código-fonte de Potências de números complexos (de expoente natural)

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2014) Potências de números complexos (de expoente natural), ''[http://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.]'',  V2(3):325
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autores</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar_e_Angela|João Nuno Tavares e Ângela Geraldo]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Rodrigue|José Francisco Rodrigues]]</i></span><br>
<b>DOI</b>: <i>[[http://doi.org/10.24927/rce2014.325 http://doi.org/10.24927/rce2014.325]]</i></span><br>
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__TOC__


==Definição==

As potências de expoente natural (inteiro positivo) de um [[Números complexos|número complexo]] \(z\) são os números complexos \(w\) tais que \(w=z^n\) com \(n \in \mathbb{N}\).

== Potências de \(i\) ==


Sabemos que \(i\), [[Unidade imaginária|unidade imaginária]], é uma solução da equação \(x^2+1=0\), sendo \(i=\sqrt{-1}\). 
Portanto, as primeiras potências de \(i\) correspondem a

\(i^2=-1\)

\(i^3=i^2\times i=-1\times i=-i\)

\(i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1\)

\(i^5=i^4\times i=1\times i=i\)

\(i^6=(i^2)^3=(-1)^3=-1\)

\(i^7=i^6\times i=-1\times i =-i\)

\(i^8=(i^4)^2=i^2=-1\)

Considerando \(n \in \mathbb{N}\) (\(n\) inteiro positivo), facilmente se prova que as potências de \(i\) de expoente superior a 3 são dadas por:

{| class="wikitable"
|-
| \[i^{4k}=1\qquad\qquad\]

\[i^{4k+1}=i \qquad\qquad\]

\[i^{4k+2}=-1 \qquad\qquad\]

\[i^{4k+3}=-i \qquad\qquad\] 
|| 
<html><iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/805739/width/300/height/350/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="300px" height="350px" style="border:0px;"> </iframe></html>    
|}

 

*'''Atenção'''

\(\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}\) \(\neq\) \(\sqrt{(-1)\times (-1)} =\sqrt{1}=1 \)

\(\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}\) \(=\) \(i\times i=i^2=-1\)

== Potências de números complexos ==


===Forma algébrica===

Considerando \(z\) um número complexo representado na sua [[Representação algébrica de um número complexo|forma algébrica]], \(z=a+bi\), com \(a\) e \(b \in \mathbb{R}\), calculamos as potências de \(z\) de expoente natural do seguinte modo:

\( z^2 \displaystyle =(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2+2abi-b^2= (a^2-b^2)+(2ab)i\)

\(z^3 \displaystyle =z^2\cdot z=(a^2-b^2+2abi)\cdot (a+bi)=a^3-a b^2+2 a^2 bi+a^2 bi-b^3 i+2a b^2 i^2=a^3-3ab^2+3a^2bi-b^3i=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i\)

\(z^4 \displaystyle =z^2\cdot z^2=(a^2-b^2+2abi)\cdot (a^2-b^2+2abi)=a^4-a^2b^2+2a^3bi-b^2a^2+b^4-2ab^3i+2a^3bi-2ab^3i+4a^2b^2i^2=\)<br><br>\(\qquad =a^4-6a^2b^2+4a^3bi-4ab^3i+b^4=\) \((a^4-6a^2b^2+b^4)+(4a^3b-4ab^3)i\)

\(\vdots\)

Recorrendo ao [[Binómio de Newton]] podemos calcular as potências de expoente natural de qualquer número complexo da seguinte forma:

\(\displaystyle (a+bi)^n={n \choose 0}a^n\cdot (bi)^0+{n \choose 1}a^{n-1}\cdot(bi)^1+ \quad \cdots \quad + {n \choose n} a^0\cdot(bi)^n\)

onde \(\displaystyle {n \choose k}\) são os '''coeficientes binomiais''', \(n\) e \(k\) inteiros, \(k \le n \), definidos como, \(\displaystyle {n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

===Forma polar===


Considerando agora um número complexo \(z\) representado na [[Representação polar (ou trigonométrica) de um número complexo|forma polar]], \(z=|z| cis (\alpha)=|z| \left(\cos\alpha + i\sin\alpha \right)=e^{i\alpha}\) ([[Fórmula_de_Euler_(números_complexos)|fórmula de Euler]]). Podemos calcular as potências de \(z\): 

\(z^2=(|z| cis (\alpha))\cdot (|z| cis (\alpha))= |z|^2 cis(2\alpha)\)

\(z^3=z^2 \cdot z=(|z|^2 cis(2\alpha))\cdot (|z| cis (\alpha))=|z|^3 cis(3\alpha) \)

\(\vdots\)

\(\displaystyle z^n=(|z| cis(\alpha))^n=|z|^n cis(n\alpha)\),

através da [[Fórmula de De Moivre| fórmula de De Moivre]] \((cis(\alpha))^n = cis(n\alpha)\).

===Determinar potências de números complexos ''(applet)''===


{| class="wikitable" 
|- 
|<html><iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/805775/width/600/height/400/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="600px" height="400px" style="border:0px;"> </iframe></html> 
||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;   || Potências  de  números  complexos (fórmula de De Moivre).

Escolha  o número complexo \(z\) movendo o ponto a azul. Em seguida clique no botão ''play'' para ver as sucessivas potências de \(z\). 

Qual a diferença de comportamento da sucessão \((z^n)_{n=1,2,...}\), 

(i). quando \(|z|<1\), isto é, quando \(z\) está dentro do círculo unitário centrado na origem, 

(ii). quando \(|z|=1\), isto é, quando \(z\) está sobre a circunferência unitária centrada na origem, e
 
(iii). quando \(|z|>1\), isto é, quando \(z\) está fora do círculo unitário centrado na origem?
|}

==Ver==
* [https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/images/8/8d/PotenciasJSS.pdf Interpretação geométrica da multiplicação de números complexos, Potências de números complexos na forma trigonométrica  por J. Sebastião e Silva]

* [http://www.fc.ul.pt/sites/default/files/fcul/dep/dm/obras_selecionadas/sebastiao_e_silva/compendios_de_matematica/Comp%EAndio%20da%20Matem%E1tica%2C%203%BA%20Volume.pdf J. Sebastião e Silva, Compêndio de Matemática, 3º Volume]

[[Category:Matemática]]

---- <br>Criada em 12 de Novembro de 2012<br> Revista em 15 de Fevereiro de 2013<br> Aceite pelo editor em 15 de Fevereiro de 2013<br>