Mostrar código-fonte de Método de redução ao absurdo

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2017) ''Método de redução ao absurdo'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V5(4):085
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2017.085 https://doi.org/10.24927/rce2017.085]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2017-085.pdf" target="_blank">
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=O método de prova por redução ao absurdo=

O método de redução ao absurdo é um método de prova matemática para validar se  uma proposição do tipo:

<div style="text-align: center;">
\(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\)
</div>

é verdadeira.  

Consiste no seguinte argumento: supômos que \(\mathcal{Q}\)  é falsa e provamos que então \(\mathcal{P}\) também o é. Como? Em geral derivando uma "contradição"  ou um "absurdo", isto é, algo incompatível com a veracidade assumida de \(\mathcal{P}\).

=Exemplos=

==\(\sqrt{2}\) é um número irracional==

Usando o método de   redução ao absurdo   provar que:

<div style="text-align: center;">
\( \sqrt{2}\ \ \mbox{é um número irracional} \)
</div>

Note que isto pode ser posto na forma   '''se'''  ...  ''' então''' , ..., pondo  '''se'''   \(\sqrt{2}\) é um número   '''então'''  \(\sqrt{2}\) é  irracional.

Suponho que \(\sqrt{2}\) é um número  racional e derivo uma contradição ou um absurdo.

Mas o que é um número racional? - é um número da forma \(\displaystyle\frac{m}{n}\) com \(m,n\in \mathbb{Z},\, n\neq 0\). De facto, e este é um elemento essencial na prova, podemos sempre supôr   que a fracção \(\displaystyle\frac{m}{n}\) é irredutível, isto é, que não existe qualquer inteiro \(\neq 1\) que divide simultâneamente \(m\) e \(n\).

Agora a prova prossegue sem dificuldade:

* suponho que \(\sqrt{2}\) é um número  racional, isto é, que \(\sqrt{2} =\displaystyle\frac{m}{n}\), com \(m,n\in \mathbb{Z},\, n\neq 0\) e  a fracção \(\displaystyle\frac{m}{n}\)  irredutível.
* então \(2=\displaystyle\frac{m^2}{n^2}\)  e portanto:
<div style="text-align: center;">
\(m^2=2n^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ............... \ \ \ \ \ \ \ \ (*)\)
</div>
o que significa que \(m^2\) é par.
* \(m^2\) sendo   par,    \(m\) também tem que ser par. Porquê? porque se \(m\) fosse ímpar também \(m^2\) o seria (prove isto).
* logo existe um inteiro \(k\in \mathbb{Z}\) tal que \(m=2k\)
* substituindo na equação (*) vem que \((2k)^2=2n^2\), isto é, \(n^2=2k^2\), o significa que \(n^2\) é par.
* sendo \(n^2\) par \(n\) é também par
* concluímos pois que \(m\) e \(n\) são ambos pares, isto é, são ambos divisíveis por 2.
* mas isto é absurdo porque suposémos a fracção   \(\displaystyle\frac{m}{n}\)   irredutível.

O absurdo resultou de termos suposto que \(\sqrt{2}\) é um número  racional. Logo   \(\sqrt{2}\) é um número  irracional.

'''QED'''


==Um outro==

Utilizemos agora o método de redução ao absurdo para provar que:

'''''Se''' \(a\), \(b\) e \(c\) números inteiros ímpares '''então''' a equação quadrática \(ax^2+bx+c=0\) não possui raízes racionais.''


Suponhamos que \(p/q\) é uma raiz racional da equação acima, com \(p\) e \(q\) primos entre si. Assim,

\(\displaystyle a\left(\frac{p}{q}\right)^2 +b\left(\frac{p}{q}\right)+c=0 \, \Longrightarrow \, ap^2+bpq+cq^2=0\)

* Se \(p\) e \(q\) são ímpares, então \(ap^2+bpq+cq^2\) também é ímpar, portanto não nulo e daí que \(p/q\) não seja solução da equação quadrática referida;

* Se \(p\) é par e \(q\) é ímpar, então \(ap^2\) é par, \(bpq\) é par e \(cq^2\) é ímpar e portanto não nulo. Analogamente, se \(p\) é ímpar e \(q\) é par, \(ap^2+bpq+cq^2\) é ímpar e assim não nulo;

Verificamos que \(ap^2+bpq+cq^2\) não se anula nestas condições. Portanto, chegamos a uma contradição pois \(p/q\) não é uma raiz da equação quadrática \(ax^2+bx+c=0\) com \(a\), \(b\) e \(c\) números ímpares.

A contradição resultou do facto de termos suposto que esta equação tinha raízes racionais. Logo, a equação \(ax^2+bx+c=0\) com \(a\), \(b\) e \(c\) números inteiros ímpares não tem raízes racionais. 

'''QED'''



---- <br>Criada em 30 de Novembro de 2012<br> Revista em 21 de Maio de 2013<br> Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2017<br>
[[Category:Matemática]]