Mostrar código-fonte de Limites trigonométricos notáveis

<span style="font-size:8pt"><b>Refer&ecirc;ncia : </b><font color="#003600" >Nuno Tavares, J., Geraldo, A. (2013), WikiCi&ecirc;ncias, 4(02):0765</font></span><br> <span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar_e_Angela|João Nuno Tavares e Ângela Geraldo]]</i></span><br> <span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Rodrigue|José Francisco Rodrigues]]</i></span>

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=\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sin x}{x}\)=

==Quando a variável \(x\) é expressa em radianos==

{| class="wikitable" cellspacing="20"
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| <html><iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/791569/width/370/height/350/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="370px" height="350px" style="border:0px;"> </iframe></html>     ||  
Da figura observamos: 

* O triângulo \(ODB\) é semelhante ao triângulo \(OAC\) e daí que

\(\displaystyle\frac{BD}{OD}=\displaystyle\frac{AC}{OA}\), isto é, \(\displaystyle\frac{r \sin x}{r\cos x}=\displaystyle\frac{AC}{r}\), o que implica que \(AC=\displaystyle r\frac{  \sin x}{ \cos x}  =r\ \tan x\).

* \(DB  <  \mbox{arc}\ AB <   AC\)

isto é

\(\displaystyle  r \sin x <\displaystyle r\ x < \displaystyle r \tan x \)

De facto, \(\mbox{arc}\ AB= r\, x\), uma vez que,  por hipótese,  \(x\) é expresso em [[Radiano|radianos]]. Dividindo todos os membros por \(r>0 \), obtemos

\( \sin x   < x<   \tan x \)

Supondo que \(x> 0\), embora próximo de \(0\), sabemos que \(\sin x> 0\) e podemos dividir as desigualdades anteriores por \(\sin x> 0\), para obter

\( 1   <\displaystyle\frac{x}{\sin x}< \displaystyle\frac{1}{\cos x} \)

Fazendo \(x\to 0\), e atendendo a que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\cos x=1\), obtemos por [[Limite_enquadrado|enquadramento]] que 

<div style="text-align: center;">
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1\)
</div>

Como \(\displaystyle\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), resulta também que 

<div style="text-align: center;">
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\tan x}{x}=1\)
</div>
 
Note que este resultado é válido quando '''\(x\) é expresso em radianos''' .
|}

==Quando a variável \(xº\) é expressa em graus==

{| class="wikitable" cellspacing="20"
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| <html><iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/791589/width/370/height/350/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="370px" height="350px" style="border:0px;"> </iframe></html>     || 
Como no ponto anterior, temos que  

* \(AC=\displaystyle r\frac{  \sin xº}{ \cos xº}  =r\ \tan xº\), e

* \(DB  <  \mbox{arc}\ AB <   AC\), isto é

\(\displaystyle  r \sin xº < \displaystyle\frac{\pi}{180º} r\ xº < \displaystyle r \tan xº \)

já que agora \(a=\mbox{arc}\ AB= \displaystyle\frac{\pi}{180º}rxº \), uma vez que,  por hipótese,  \(xº\) é expresso em graus. De facto

\(\begin{array}{ccc}
360º \longleftrightarrow 2\pi r\\
xº \longleftrightarrow a
\end{array}\), o que implica que \(a=\mbox{arc}\ AB= \displaystyle\frac{\pi}{180º}rxº\).

Dividindo todos os membros por \(r>0\), obtemos

\(\displaystyle    \sin xº < \displaystyle\frac{\pi}{180º}    xº < \displaystyle   \tan xº \)

Supondo que mais uma vez que \(xº> 0\), embora próximo de \(0\), sabemos que \(\sin xº> 0\) e podemos dividir as desigualdades anteriores por \(\sin xº> 0\), para obter

\( 1   < \displaystyle\frac{\pi}{180º}\displaystyle\frac{xº}{\sin xº}< \displaystyle\frac{1}{\cos xº} \)

Fazendo \(xº\to 0\), e atendendo a que \(\displaystyle\lim_{xº\to 0}\cos xº=1\), obtemos por enquadramento que 

<div style="text-align: center;">
\(\displaystyle\lim_{xº\to 0}\displaystyle\frac{\sin xº}{xº}=    \displaystyle\frac{\pi}{180º}\)
</div>

|}

Note que este resultado é mais complicado do que o anterior, devido ao aparecimento do factor extra \(\displaystyle\frac{\pi}{180º}\) que resulta de ser  \(\displaystyle xº=\frac{180º}{\pi}x\). Por isso há toda a conveniência em exprimir a variável em radianos, para que o limite seja: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sin x}{x} =1\).

=\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\cos x -1 }{x}=0\)=

Supômos que \(x\) é expresso em radianos  e aplicamos a [[Fórmula_trigonométrica|fórmula trigonométrica]] \(\cos p-\cos q=-2\sin \displaystyle \frac{p+q}{2}\sin \displaystyle \frac{p-q}{2}\). Vem então que

<div style="text-align: center;">
\(\displaystyle\frac{\cos x -1 }{x}=\displaystyle\frac{\cos x -\cos 0 }{x}= \displaystyle\frac{-2\sin \displaystyle \frac{x}{2} \sin \displaystyle \frac{x}{2} }{x}\)
</div>

Daí que

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\cos x -1 }{x}=-\displaystyle \lim_{x\to 0} \displaystyle \frac{\sin(x/2) }{x/2}
\displaystyle \lim_{x\to 0} \sin(x/2)   =-1\times 0=0      \).

---- <br>Criada em 2 de Janeiro de 2013<br> Revista em 7 de Fevereiro de 2013<br> Aceite pelo editor em 7 de Fevereiro de 2013<br>


[[Category:Matemática]]