Mostrar código-fonte de Lei dos senos

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2014) Lei dos senos, ''[http://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.]'',  V2(1):113
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autores</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar_e_Angela|João Nuno Tavares e Ângela Geraldo]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Rodrigue|José Francisco Rodrigues]]</i></span><br>
<b>DOI</b>: <i>[[http://doi.org/10.24927/rce2014.113 http://doi.org/10.24927/rce2014.113]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/pdf/2014/113/" target="_blank">
                <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html>
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=Lei dos senos=


{| class="wikitable"
|-
| <html><iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/791483/width/400/height/400/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="400px" height="400px" style="border:0px;"> </iframe></html>  || &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp;   || Consideremos um [[Triângulo|triângulo]] \(ABC\), como o representado no applet ao lado. As notações para os vértices e para as medidas de lados e de ângulos internos são  as indicadas. Nestas condições, a '''lei dos senos''' diz que:

<div style="text-align: center;">
\(\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\displaystyle\frac{b}{\sin\beta}=\displaystyle\frac{c}{\sin\gamma}\)
</div>

Podemos ainda ser mais específicos. Para isso, consideremos   a [[Circunferência_circunscrita_(triângulo)|circunferência circunscrita]] ao   triângulo \(ABC\), e seja \(r\) o seu raio. Então  

<div style="text-align: center;">
\(\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\displaystyle\frac{b}{\sin\beta}=\displaystyle\frac{c}{\sin\gamma}=2r\)
</div>

|}

=Demonstração=

{| class="wikitable"
|-
| <html><iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/791495/width/400/height/340/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="400px" height="340px" style="border:0px;"> </iframe></html>  || &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp;   || Para provar a '''lei dos senos''', usamos o facto conhecido (Proposição 20 do livro III dos ''Elementos'' de Euclides) de que a medida de um [[Ângulos_e_Circunferências#.C3.82ngulo_inscrito|ângulo inscrito]] numa circunferência (isto é, um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência e os lados contêm duas [[Corda_da_circunferência|cordas da circunferência]]), é igual a metade da medida do [[Ângulos_e_Circunferências#.C3.82ngulo_ao_centro|ângulo ao centro]] (ou arco) que subtende a mesma corda ou metade da amplitude do arco \(AB\).
|}


{| class="wikitable"
|-
| <html><iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/791515/width/400/height/350/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="400px" height="350px" style="border:0px;"> </iframe></html>  ||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;   ||  Consideremos de novo  a circunferência circunscrita ao   triângulo \(ABC\), e seja \(r\) o seu raio. 

Temos que: \(\angle AOB=2\angle ACB=2\gamma\).

Baixemos, a partir de \(O\), a [[Reta_perpendicular|perpendicular]] que bisseta o lado \(AB\). Temos então que

<div style="text-align: center;">
\(\sin\gamma=\displaystyle \frac{c}{2}r\),
</div> 

<div style="text-align: center;">
o que implica que \(\displaystyle \frac{c}{\sin\gamma}=2r=\mbox{constante}\)
</div>

que é uma constante, constante esta que é independente de \(c\) e \(\gamma\). Fazendo exactamente o mesmo procedimento para os dois outros lados e ângulos internos, obtemos 

<div style="text-align: center;">
\(\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\displaystyle\frac{b}{\sin\beta}=\displaystyle\frac{c}{\sin\gamma}=2r\)
</div>
como se pretendia.
|}

=Aplicações=

==Aplicação 1==

{| class="wikitable"
|-
| <html><iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/791527/width/280/height/300/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="280px" height="300px" style="border:0px;"> </iframe></html>  || &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp;   || Num triângulo inscrito numa circunferência de diâmetro igual a 1, o comprimento de cada lado é igual ao seno do ângulo oposto.

Com efeito, neste caso, a lei do senos diz que
<div style="text-align: center;">
\(\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\displaystyle\frac{b}{\sin\beta}=\displaystyle\frac{c}{\sin\gamma}=1\)
</div>
donde se deduz que 

<div style="text-align: center;">
\(a=\sin\alpha, b=\sin\beta\) e \(c=\sin\gamma\).
</div>
|}

==Fórmulas de duplicação==

{| class="wikitable"
|-
| <html><iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/791539/width/280/height/300/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="280px" height="300px" style="border:0px;"> </iframe></html>  || &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp;   || Consideremos o  triângulo \(ROP\) inscrito numa circunferência de raio igual a 1, que se ilustra no applet ao lado. Se \(\angle AOP=2\theta\), então \(\angle ARP=\theta\). 

Aplicando a '''lei dos senos''' ao triângulo \(ROP\), obtemos

<div style="text-align: center;">
\(\displaystyle \frac{RP}{\sin(180º-2\theta)}=\displaystyle \frac{OP}{\sin\theta}=\displaystyle \frac{1}{\sin\theta}\)
</div>

uma vez que \(OP=1\), donde se deduz que

<div style="text-align: center;">
\(\sin 2\theta=RP\, \sin \theta\),
</div>
uma vez que 
<div style="text-align: center;">
\(\sin(180º-2\theta)=\sin\theta\).
</div>

Por outro lado, do triângulo \(RSO\), retângulo em \(S\), obtemos que 

<div style="text-align: center;">
\(\cos\theta=\displaystyle \frac{RS}{RO}=\displaystyle \frac{(RP/2)}{1}=\displaystyle \frac{RP}{2}\),
</div>

o que implica que 

<div style="text-align: center;">
\(RP=2\cos\theta\).
</div>

Substituindo \(RP\) na fórmula \(\sin 2\theta=RP\, \sin \theta\), acima deduzida, obtemos uma fórmula do seno do ângulo duplo:

<div style="text-align: center;">
\(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)
</div>
|}

<br>

Fazendo um raciocínio análogo, aplicado agora ao triângulo \(RQP\), retângulo em \(Q\), obtemos as fórmulas do cosseno do ângulo duplo:

<div style="text-align: center;">
\(\cos 2\theta=2\cos^2\theta -1 = \cos^2\theta-\sin^2\theta\)
</div>

[[Category:Matemática]]

---- <br>Criada em 07 de Dezembro de 2012<br> Revista em 12 de Mar&ccedil;o de 2013<br> Aceite pelo editor em 09 de Abril de 2013<br>